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wo l den Convergenzexponenten von S (s) Ijezeichnet. Hier rauss zunächst s auf 

 die durcli die obigen Ungleichlieiten definirte Halbebene beschränkt werden. Gehört 

 aber S (z) wieder der in § 3 charakterisirten, umfassenden Klasse solcher Dirichlet- 

 schen Reihen an, welche ausserhalb ihrer Convergenzbereiche analytisch fortgesetzt 

 werden können und die übrigen in § 3 angegebenen Eigenschaften besitzen, so kann 

 der Integrationsweg '^{z) = a unter Berücksichtigung des ÜAüCHYSchen Satzes be- 

 liebig weit in negativer Richtung verschoben werden, wodurch sich ergielit: 



(94) 2 S (s , rv + »') = Si (s , w) - R {s , n- + m \a) - I {s , ir -f- m ; a) , 



i' = 



!){ (.s) > fl + 1 , 



WO R die Summe der zu den passirten Polen des Integranden gehörigen Residuen 

 bezeichnet, während I das Integral mit dem neuen Integrationswege bedeutet. 

 Gleichzeitig mit dieser Verschiebung hat sich aber auch in derselben Richtung die Halbebene 

 9{ (s) > fl + 1 erweitert, in welcher das Integral I eine eindeutige und regulär sich wer- 

 haltende Funktion von s darstellt. Da 9i' (s — z) > 1 , so ist lim ^(s - z , «• + m) — o . 



Hieraus folgt leicht lim I{s , n- -\- m ; «) = o . Die Formel (94) stellt also die Summe 



zur Linken für grosse Werthe von m asymtotisch dar, wobei s einen beliebigen 

 Werth in der Halbebene 9{ (s) > « + 1 besitzen darf. 



Die Formel (94) kann aber ähnhch wie (90) auch von einem anderen Gesichts- 

 punkte aus aufgefasst werden, Dadurch wird nämlich Si (s , uj) zugleich folgender- 

 weise als Grenz werth dargestellt: 



(95) S, (s , V) = lim Yj ^ (•' ' "' + '') + ^ (*■ ' "' + '" ; A ' 



und zwar gilt diese Darstellung für die Halbebene 9Î (s) > « + i . Die Anzahl der 



in R vorkommenden Glieder ist bei wachsendem m constant aber von a abhängig. 



Mit Benutzung von (95) lässt sich S, (s , rv) weiter in der Form einer Reihe dar- 

 stellen : 



(9( 



\) S, {s , >r) = ie (s , O ; a ) + ^ S (.v , ir + ni) + R (s , ir -\-m+\;a) — R (s , w + /;/ ; « , 



und zwar convergirt die rechte Seite gleichmässig in jedem endlichen Theile der 

 Halbebene 9î (s) > a -}- l , welcher keine Pole der Glieder dieser Reihe enthält. Indem 

 man j a \ hinreichend gross annimmt kann man bewirken, dass die rechte Seite die 



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