Die Dhichletschcn Reihen, die znlüentheoref.ii<chen Funktionen etc. 35 



analytische Fortsetzung der linken Seite in einem beliebigen Theile der s-Ebene dar- 

 stellt. Vergleicht man (96) mit (72), d. h. mit der Darstellung 



Si (*•,"■)= 2]s(-^'r + m), 



welche einen beschränkteren Gültigkeitsbereich besitzt, so ist die Analogie mit dem 

 MiTTAG-LEFFLERSchen Satze auffallend. 



In dem gemeinschaftlichen Convergenzbereiche beider Darstellungen hat man 

 natürlich 



ü (* , o) + ^ { iï {^ , '" + III + 1) - i? (.V , w + m)^ = o 



d. h: 



lim E (s , tv -f- m) = o . 



Setzt man beispielsweise, unter T{n) die Anzahl aller Theiler von n verstehend: 



^*^ ' -* Zj(w + Jl)«' 



so ist 



.1 = 1 



n+.-co 



iHs ,,.,)^i(i:^,") /■'(.)_/:(-^)_r_(^^^l^ 



+ S^^tc(-^)r^y^a.s+i',''0, -(Ä. + i)<«<:-^-. 



Hieraus geht ohne weiteres die Form hervor, welche die Formeln (94), (95) und (96) 

 in diesem speciellen Falle erhalten. 



Für die im vorigen Paragraphen deflnirten Funktionen S_j. und S^. können ähn- 

 liche Formeln erhalten werden wie oben für Si . 

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