Die Birichletsche)! Reihen, die zahlcnfheoirfiselici) Ftndiiunen efe. 87 



Es handelt sich zunächst um die Horleitung einer fundamentalen Transforma- 

 tionsformel, mittels deren die betreffenden DiRicHLETSchen Reihen auf einfachei-e 

 Formen zurückgeführt werden. 



Zu dem Ende ersetze man in der Formel (89) y durch // + v und wende unter 

 dem Integralzeichen dieselbe Formel (89) an. Durch wiederholte Anwendung dieses 

 Verfahrens ergiebt sich die folgende Verallgemeinerung von (89): 



(98) 



n,) 



/ ' V "" y ^ . . ""\'^ i \s-^, — ^.)i'(^,) . 



r(s„) 



di, ■ ■ ■ dz„ 



rr^ > o , I' = 1 , 2 , • • • , ^y , ïH (.s) > fl, + «j H + "p > " • 



Durch eine nähere Erwägung überzeugt man sich, dass diese Formel wenigstens 

 dann gültig ist, wenn die reellen Theile der Grössen w positiv sind. 



Bezeichnet nun i? (vj , Va , . . . , vj eine beliebige ganze rationale Funktion von 

 t\, . . . , i\ oder, noch allgemeiner, ein Polynom der Form 



(99) 



B (t'i . 



V,.) = > ^'v ". " ^2 " • • • ''^n 



wu die Exponenten k reelle nicht negative Zahlen bezeichnen, so erhält man mit 

 Hülfe von (98) die Formel: 



(100) 



r{s) 



= (— y r • . • r ^-^à B'Ù . . . B^ ^ 



dzp 



(101) 





.)+'!-;"^i + --- + ^';'^,., 



/. = c (^ 



+ 



+ '^i"'2. 



Diese Formel hat wenigstens dann einen bestimmten Sinn, wenn die reellen Theile 

 der Coefficienten C sowie die Grössen v positiv sind. 

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