Die Dhichlctschpn RoUicn, <fie zahlcnthcorcfincbcn FunJctionen etc. 39 



In meiner oben citirten Arbeit ist nun die diucli die iieilie S {s) detinirte Funk- 

 tion unter den folgenden Voraussetzungen in Bezug auf die durch die Reilien S„ (s) 

 definirten Funktionen ausfütirlich erörtert worden. Von diesen Funktionen S^ wurde 

 nämlicli angenommen, dass sie in der ganzen s-Ebene existirende eindeutige FunTctionen 

 sind, tvelche sieh an jeder endlichen Stelle loie rationale Funktionen verhalten und üher- 

 dies die beiden folgenden Eigenschaften besitzen: 1) in jedem sur imaginären Axe 

 parallelen Streifen von endlicher Breite giebt es höchstens nur eine endliche Anzahl Pole 

 der Sy , 2) in jedem solchen Streifen convergiren die S,, , nach MultipWkation mit 

 e~ * ' * , bei rvachsendem 1 5 1 gegen die Null, wie klein die positive Zahl s angenommen 

 werden mag. Unter diesen Voraussetzungen wurde gezeigt, dass das Produkt r{s) S (s) 

 ebenfalls eine in der ganzen s-Ebene existirende eindeutige Funktion ist, ■ tvelche zugleich 

 die beiden anderen Eigenschaften der S„ besitzt. Liegen die Pole der S„ alle auf der 

 reellen Axe, so gilt dasselben auch von den Polen von S . Sind die Coefficienten C 

 insbesondere reelle positive Zahlen, so besitzt nicht nur das Produkt r{s) S {s) sondern 

 auch die Funktion S (s) alle oben genannten Eigenschaften. 



Sieht man von gewissen mit dem Problem der Primzahlen unmittelbar oder 

 mittelbar zusammenhängenden Reihen ab, so dürften die meisten übrigen Dirichlet- 

 schen Reihen, welche für die Zahlentheorie von Interesse sind oder voraussichtlich sein 

 werden, in der soeben charakterisirten allgemeinen Klasse enthalten sein. Es unter- 

 liegt wohl keinem Zweifel, dass das Verhalten der durch die betreffenden Reihen 

 definirten Funktionen im Unendlichen noch genauer dahin präcisirt werden kann, 

 dass sie, schon nach Multiplikation mit einer passenden Potenz von s , l)ei wachsen- 

 dem s sich der Grenze Null nähern, falls s zugleich auf einen beliebigen Streifen 

 der oben angegebenen Art beschränkt ist. Eine nähere Begründung der letzteren 

 Behauptung hängt mit dem Umstände zusammen, dass die Funktion f {s, w) , welche 

 bekanntlich in der analytischen Zahlentheorie eine fundamentale Rolle spielt, die 

 letztgenannte Eigenschaft besitzt, falls w reell und positiv ist. Hierbei beachte man 

 auch die nachfolgenden Specialisirungen der obigen Transformationsformel. 



Setzt man beispielsweise a^p = "v + / und /",, (l) - l für <l - o, l , • • • , rc , 

 so wird 



1':- n 



(107) S (s) = y 



Da die Funktion t {s , n-) alle von den S,, angenommen Eigenschaften besitzt, so ist 

 der folgende Satz nur ein einfaches Corollarium aus ilem Obigen: 

 i\:o -1. 



