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Bezeichnet K (»■, , • . . , iv„) eine beliebige ganze rationale Funktion oder allgemei- 

 ner ein Polynom der Form (99), dessen Coefficienten die Bedingung erfüllen, dass 

 ihre reellen Theile positiv sind, in welchem Falle die Reihe S (s) einen durch eine 

 gewisse Halbebene darstellbaren Convergenzbereich besitzt, so irird durch diese Reihe 

 eine in der ganzen s-Ebene existirende eindeutige Funktion definirt, welche sich an 

 jeder endlichen Stelle wie eine rationale FimTction verhält. Die Pole dieser Funktion 

 liegen alle auf der reellen Axe. Beschränkt man die Veränderliche s auf einen belie- 

 bigen, zur imaginären Axe parallelen Streifen von endlicher Breite, so nähert sich 



Grösse s angenommen icerden mag. Sind die Coefficienten C reelle positive Zahlen, 

 so besitzt nicht nur e~ '^ *' r{s)S{s) sondern auch e~^'*' S (s) die letztgenannte Eigen- 

 schaft. 



Identificiren wir die Reilien (105) mit den bei der Bestimmung der Klassenan- 

 zahlen binärer iiuadratischer Formen auftretenden Reihen 



(lOS) 



KC) 



so liesitzen die durch die entsprechenden Reihen (106) definirten Funktionen ebenfalls 

 alle soeben genannten Eigenschaften. Aus der Abhandlung des Herrn Hurwitz: 

 „Einige Eigenschaften der Dirichletschen Funktionen etc." (Zeitschrift für Mathematik 

 und Physik, Jahrgang 27, s. 86) geht nämlich hervor, dass die Reihen (108) im 

 wesentlichen linear durch Reihen der Form ^ (s , w) darstellbar sind und somit die 

 für die Gültigkeit des obigen Satzes erforderhchen Eigenschaften besitzen. Die Rei- 

 hen (108) machen einen Theil von denjenigen aus, welche Dirichlet in der Arbeit 

 über die arithmetische Progression gebrauch hat und Herr Lipschitz in seiner Arbeit 

 „Untersuchung der Eigenschaften einer Gattung von unendlichen Reihen" (Grelles 

 Journal, B. 105) einer eingehenden Erörterung unterworfen hat. Identiflcirt man 

 die S,, mit diesen allgemeineren Reihen, so erfährt auch die Klasse der Reihen (106), 

 welche die Transformationsformel (104) auf die S,, zurückfühi't, eine entsprechende 

 Erweiterung. 



In diesem Zusammenhange verdient auch der folgende Satz angeführt zu wer- 

 den, den ich ebenfalls in meiner oben citirten Arbeit bewiesen habe: 



Sind die Glieder der beiden Reihen 



s(.)=2;v^' T(.)=2;^? 



