42 Hj. Mellin. 



dx 



r ff\ dx -^,<0< + .<i,. 



(110) *(/)=J •/',[.,j</>2(^) -^, , ^^ ^ ^,„ 



»n/cr Ö>i tmrf Ö>2 gewisse Funktionen der Klasse (Ö>) verstanden; 2) rfass awcÄ ^'ecie 

 Funktion der Klasse {F) auf die manigfaUigste Weise folgendermassen als bestimmtes 

 Integral dargestellt werden kann: 



"V" u,+a<'3{(s)<ß,+a, 



(111) ^(*^) = T^^ F,{>:-z)F,{z)d3, 



unter F^ und F^ geivisse Funktionen der Klasse {F) rerstanden. 



Die Formel (110) ergiebt sich folgenderweise. In der ersteren Formel (109) 

 kann offenbar F auf mannigfaltige Weise als Produkt von zwei Funktionen öi und 

 (t2 der Klasse (F) dargestellt werden. Ich setze voraus, dass (xi und O^ ebenso 

 wie F in der Umgebung jeder endlichen Stelle im Innern und auf der Begrenzung 

 lies Streifens « < di{z)< ß sich regulär verhalten und überdies für unendlich grosse, 

 demselben Streifen angehörige Werthe von s =z n + Ir durch die Formeln 



G, (z) = e- ""' ' t\ (« , V) , ^?2 (^) =e-^"- ' U (" , v) , ,'>, + ^2 = ^ , 



charakterisirt werden können, wo ^i , H^ , /1 , /2 die in § 1 angegebenen Bedeutungen 

 besitzen. Bezeichnen nun il\ und </*2 die den resp. Funktionen G^ und G^ ent- 

 sprechenden recijiroken Funktionen, so hat man 



'/', (0 = ^„- j (r, iz) r ■' dz , G, {z) =j ^2 (■'■) ■'■''' dx , 



t ^ f e'" , — ^^ < (X + ^, , « < ff < /3 , a < 3Î (^) < ß , 



Setzt man den letzteren Ausdruck in 



'^'(^)= 2m J <^^^(^)<^^2i^)r'dz 



ein. so ergiebt sich die Formel (HO) unter Berücksichtigung des Integralausdruckes 

 für (l\{t). 



Der Gidtigkeitshereieh der Formel (110) ist scheinbar durch die Ungleichheit en 

 — d-^<t)<-\^i)^. thutsüchlich aber nur durch — (^, + ^2) < Ö < + (-!^i + ^^^2) beschränkt. 



T. XXXI. 



