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Man überzeugt sieh nämlich ohne Mühe, ilass der Integrationsweg des Integrals 



(110) unter der Bedingung, dass der Winkel zwischen der Strecke o t und 



dem Integrationswege durch passende Veränderung von f kleiner als ^, beilje- 



halten wird, eine beliebige Lage zwischen den beiden Geraden o ao c*^' und 



o 00 e~' - erhalten darf, ohne dass das Integral aufhört, eine und dieselbe 



analytische Funktion von t darzustellen. Hierdurch kann aber das Argument von 

 t einen beliebigen Werth zwischen — (^i + ^2) "nd + (^1 + ,^2) erhalten. Weil 

 nach der Voraussetzung &y + »^ = d^ ist, so stimmt also der Giiltigl-eitsbereich von 

 (110) mit dem der ersteren Formel (109) überein. 



Die Formel (111) ergiebt sich folgendermassen. In der letzteren Formel (109) 

 kann <I> auf mannigfaltige Weise als Produkt von zwei Funktionen '/■'■, und '/'2 der- 

 selben Klasse ((P) dargestellt werden. Ich setze voraus, dass 'l\ und 'V'j ebenso 

 wie ä> an jeder von x = o und *■ = 00 verschiedenen Stelle im Innern und auf der 

 Begrenzung des Winkels —d^<0< + ^ sich regulär verhalten und überdies bei 

 beliebiger jn diesem Winkel stattfindender Annäherung von .'■ an die .Stellen x = o 

 und X = CO die Eigenschaften 



[ lini ./•*■' 'I'\ (x) = 0, Mim ,/■*' >I^2 (•«) = u . i lim .c" O (a,-) = o , 

 jini^ ./.■'• H\ {.,:) = o , lim x'' U'\ (.t) = o , lim ./ *' (D (.r) = o , 



besitzen, unter k^^ , k., und fc drei iviUl-ürliche, die resp. Bedingungen 



«1 < ^l < jïl «j + «2 = « 



«2 < ^-2 < /Ï2 ßl + ßt = ß 



a<l<ß 



erfüllende Constanten verstanden. Bezeichnen nun F^ und F^ die den resp. Funk- 

 tionen >f'\ und '/4 entsprechenden reciproken Funktionen, so hat man 



F, [s) = j >}'\ (,r) ,r'— dx , 'f, (x) = ._,^ . J F., (z) .■- dz 



ai<di{s)<ßi, a.^<n<,%. 



Setzt man den letzteren Ausdruck in 



'is)=j >l'\{x)-'I',{x).c-'dx 



