FORMULES GENERALES. 



1. Etant donnée une fonction analytique f{z) de la variable complexe 

 s = t-\-it, nous allons considérer d'abord la somme finie 



2]f('') = /"(l) + /"(2) + ••• + /■(«), 



en supposant la fonction f(s) holomorphe dans une aire T comprenant le segment 



1 n de l'axe réel. 



Tout point d'affixe entier, étant un zéro du premier ordre pour la fonction 



sinsTä-, sera pour l'expression -,- \og ^m :n z ~ sr coig st z un pôle du premier ordre 



au résidu 1 . Les termes de la somme ci-dessus sont donc respectivement égaux 

 aux résidus de la fonction 



(1) ^ cotg sr^ • Z^^-) 



aux points 1 , 2 , • • • , n , et par suite, en prenant à l'intérieur du domaine T un 

 contour fermé 6' enveloppant ces points 1 , 2 , • • , n , mais laissant en dehors tout 

 autre point dont l'affixe est un nombre entier, on aura, d'après le théorème de Caughy, 



(2) £/-(,')=^.J/'(,r)cotg^^rf^, 



l'intégrale étant prise le long du contour C dans le sens direct. 



Pour transformer cette expression, nous laisserons nous guider par cette 

 remarque bien simple, qu'en faisant tendre z vers l'infini suivant une droite quel- 

 conque qui n'est pas parallèle à l'axe réel, la fonction 



1 ^ e"''" + e-""" 



. cotg nz = -z^^ -~^^ 



« e — e 



