2 Ernst Lindelöp. 



tendra vers — 1 ou vers + 1 , suivant que le coefficient i de la partie imaginaire 

 de z tendra vers + oo ou vers — co . Ceci nous conduit à poser, dans l'intégrale 

 ci-dessus, 



1 2 



(3) -. cotg 3i:z = —\— _o^i^ pour ^ > , 



1 ß ■ — 1 



et 



1 2 



(4) ^cotgw^= 1 + Q^^Tï pour/<0. 



* e " — 1 



Choisissons désormais le contour C symétrique par rapport à l'axe réel, et 

 désignons par ay'ß la moitié supérieure et par ccY"ß la moitié inférieure de ce 

 contour, « et |ï étant ses points d'intersection avec l'axe réel, compris respective- 

 ment entre et 1, et entre n et n + l . 



Cela posé, en effectuant la substitution indiquée ci-dessus, le second membre 

 de l'égalité (2) devient 



î^~dz^ï f^'^ 



(5) .; r f(z)dz^ \ [ f(z)dz+[ J^dz^ ( 



dz. 

 -1 



Mais ici une premi("'re rédaction se présente de suite. En effet, comme la fonction 

 f{z) est holomorplie à l'intérieur du contour C, on aura 



(ß) 



/ f(z)dz=\f{T)dr, 

 -/ f(z)dz=^[ f(z)dz=\f(r)dr. 



La somme des deux premiers termes de l'expression (5) se réduit donc à 1 f{'r)dr, 

 et par suite l'égalité (2) peut s'écrire: 



(7) l;/-(^)=f/ïr)./r+[ ^^#--.^.+ 1" Jl^'dz. 



D'autre part, comme les chemins ay'ß et «y"/i sont symétriques par rapport 

 à l'axe réel, on peut mettre la somme des deux derniers termes de cette expression 

 sous la forme 



Ig- ■ ■■ • _ ] ft " ' " ' — ] ) 



Posons 



