4 Ernst Lindelöf. 



Cette formule suppose essentiellement que les nombres a et ß sont compris 

 entre les limites 0<a<l,n<fJ<;?i+l. Si une de ces limites est atteinte, 

 le rectangle B^^ j , passant par un point singulier de la fonction (1), ne saurait 

 servir de contour d'intégration dans l'égalité (2), à moins qu'on ne fasse subir 

 à son périmètre une déformation, de manière à éviter le point en question. Nous 

 effectuerons cette déformation en effaçant de part et d'autre du point singulier un 

 petit segment du côté de E^^ qui y passe, puis en reliant les extrémités du contour 

 resté ouvert par un demi-cercle, ayant le point singulier pour centre et tourné de 

 façon (lue ce point soit intérieur ou extérieur au contour fermé, suivant qu'il figure 

 ou non parmi les points 1 , 2 , • •'• , n . 



Pour fixer les idées, supposons p. ex. « = 1 , ß = n . Dans ce cas, nous rem- 

 placerons la partie du contour -Bj „ qui est voisine du point 1 , par un petit demi- 

 cercle tournant la convexité vers la gauche, et la partie voisine du point n par un 

 demi-cercle tournant la convexité vers la droite, comme l'indique la figure ci-dessous. 



Revenons maintenant à la formule (2), en prenant comme contour d'intégra- 

 tion (' celui que nous venons de dessiner, et cherchons vers quelle limite tend 

 l'intégrale du second membre lorsqu'on fait tendre le rayon s des demi-cercles vers 

 zéro. A. cet effet, nous allons considérer séparément les diverses parties dont se 

 compose cette intégrale. 



Un voit d'abord (jue la partie relative au demi-cercle gauche tendra vers la 



moitié du résidu de la fonction (1) au point s=l, c'est à dire vers -^fW- 



De même, l'intégrale le long du second demi-cercle tendra vers le demi-résidu 



Pour le reste du contour, nous nous servirons des égalités (3) et (4). Les 

 parties constantes des expressions figurant aux seconds membres de ces égalités 

 donnent naissance aux termes 



