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l j /'(T + if) <'r ut .^ [/(T - It) (Ir . 



dont la somme tend vers (/'(tI^Zt, lorsque * tend vers zéro. 



Entin lés secondes parties de ces mêmes expressions, par un calcul analogue 

 à celui qui nous a conduit à la formule (13), et en tenant compte des égalités (12), 

 nous donnent la somme 



ô 

 •2 I P(r, d) dr -f 2 |'[<y (w, t) - q (1 , t)\ -r,^ 



dt _ 

 1 



D'après (9) on a identiquement 



ry(T,Ü) = 0. 



L'expression sous le dernier signe intégral demeure donc parfaitement continue pour 

 ^ = 0, et par suite, pour avoir la valeur vers laquelle tend cette intégrale lorsque 

 « tend vers 0, on n'aura qu'à égaler sa limite inférieure à zéro. 



Somme toute, en choisissant le contour d'intégration comme il a été dit, et 

 en faisant tendre « vers zéro, on tire de (2) cette nouvelle formule: 



(H) £ f{v) = l [/•(!) + fin)] + [/-(T) dr + '2 f[q (n, t) - q {\ , t)] j^~ + 2J P(r, Ô)dT. 



laquelle s'applique dès que la fonction f{z) est holomorphe pour 1 <t <n,~ô<t<ô. 



0. Supposons maintenant que la fonction donnée f{z) soit holomorphe pour 

 tout point de la bande parallèle à l'axe imaginaire, définie par l'inégalité !<«'<«, 

 [t quelconque), et admettons en outre que ia condition 



(Ä) limf-'""'|/'(r + «ï)l = 



(^ + 00 



est vérifiée uniformément pour les mêmes valeurs de t. 



Dans ces conditions, la formule (14) restera valable quelque grand que soit ö, 

 et lorsque d tend vers l'infini, le dernier terme de sou second membre tendra vers 

 zéro, comme le montrent les égahtés (9) et (11). L'avant-dei'iiier terme tendra donc 

 vers une hmite finie et déterminée, et par suite on obtiendra la formule suivante: 



(1) Yi ^'^"' = 2 1'''^^' + '''*"'J + / f'^''"' '^'' + "^ \ i'^ *"• '* " " '/ ^^ ' "] ^ 



dt 

 1 



Remarquons de suite que cette formule reste encore valable si, les autres con- 

 ditions étant vérifiées, la fonction /'(.?) prend une valeur finie et déterminée au point 

 N:o i. 



