6 Ern.s'j' I.indelöf. 



2 = 1, sans y être holomorphe. Pour s'en assurer, on n'aura qu'à recommencer la 

 démonstration qui précède, avec cette modiflcation qu'on retourne, dans la figure 

 ci-dessus, le demi-cercle gauche de manière à laisser le point ^ = 1 en dehors du 

 contour d'intégration. — Une remarque analogue s'applique évidemment au point 



.X- = n . 



Si les conditions énoncées ci-dessus sont vérifiées pour a<T<(i, on peut de 

 même faire tendre ô vers l'infini dans l'égalité (13), et on obtient ainsi la formule 



(II) 



£/■(,.) = |/(tu/t -t-2| [Q.iti,t) - QAa,t)\dt. 



En modifiant ou en combinant entre elles les deux dernières formules, on peut 

 en déduire plusieurs autres. Parmi ces formules, nous citerons les suivantes, dont nous 

 aurons à faire usage plus loin, et qui sont valables sous certaines conditions qui résul- 

 tent clairement de ce qui précède, sans qu'il soit nécessaire d'y insister davantage: 



(III) y /■(.') -■ \ [fin) /-(U) I +\f{T) dr + 2 I [q (n . t) - q (0, h] ,-*— ■ 



1 u o e" — 1 



(IV) 2 f(r) - -- 2 [f(n +\, + /'(U)] + I /-(T) dr + 2 j [q (n + i , () ~ q (0, t)] -^-~^ 



(V) 2 f(v) = - \ /(U) + [/(Tj dr ^of q (0, t) .J^ -f 2 [ Q (,ï, t) dt in<ß<:n+ 1). 



„ " + i -^' r. 



1 



(VII) j; /» = ~l f{0) + f Vc-) '/-r - 2 [ ,/ (0, t) jf^^^-^ ~2J'q {n + J , f) ^f-^ ■ 



4. En serrant davantage les hypothèses, supposons maintenant que la fonction 

 f(z) soit holomorphe dans tout le demi-plan t>1, que la condition (^4.) soit véritiée 

 uniformément pour \<r<n, queli^ue grand que soit w, et iju'on ait enfin 



(B) lim / <'~'^"^"\f[T + it)\dt = 0. 



Dans ces conditions, les formules (I) et (VI) ci-dessus subsistent quelque grand 

 que soit l'entier n, et lorsque n tend vers l'infini, la seconde de ces formules nous 

 donne 



T. XXXI. 



