8 Ernst Lindelöf. 



d'intégration. Mais il est facile de voir comment se modifient les formules qui 

 précèdent, dans les cas où la fonction f(z), tout en restant uniforme, présente à 

 l'intérieLir de la région considérée un nombre limité de points singuliers. 



Supposons cette dernière condition, ainsi que la condition (A), vérifiées p. ex. 

 dans la bande a<i:<ß (0<a<l,w</î<n4-l), et, afin d'énoncer notre résultat 

 sous une forme bien nette, admettons en outre qu'aucun des points singuliers de 

 f{z) compris dans cette bande n'est situé sur l'axe réel. 



Reprenons alors les considérations du n" 1, en choisissant comme contour 

 d'intégration C un rectangle R^ ^ dont on aura pris la hauteur assez grande pour 

 qu'il renferme tous les points singuliers de f{z) intérieurs à la bande envisagée. 

 Dans l'hypothèse actuelle, l'application du théorème des résidus nous donnera, au 

 lieu de (2), la formule 



£ /■('') = li \ /'(^) cotg nz dz - 8, 



S désignant la soynme des résidus de la fonction st cot% sr z • f (z) relatifs aux points 

 singuliers de f(z) compris dans la bande a<'ü<ß. 



L'intégrale figurant au second membre de cette formule pourra encore se 

 mettre sous la forme (5), mais le raisonnement qui suit doit ("'tre modifié. En effet, 

 on trouve maintenant, au lieu de (6), les égalités suivantes: 



I f{z)dz=\f(r)dr-2siiS', 

 f f(z)dz=if{r)dT + 2^iS", 



<Y"ß 



S' et S" désignant les sommes des résidus de la fonction f (z) relatifs aux points sin- 

 guliers de cette fonction compris respectivement dans les moitiés supérieure et inférieure 

 de la lande envisagée. 



Les autres raisonnements n'éprouveront aucun changement, et nous arrivons 

 donc finalement à ce résultat que la formule (II), dans l'hypothèse actuelle, doit 

 être remplacée par la suivante: 

 « /' ^' 



£ /■(") = \r('^) dr + 2 [ [Q iß, f) - Q {ce, t)]df- [S + sri (S' - S")), 



S, S', S" ayant la signification indiquée ci-dessus. 



Les autres formules que nous avons établies plus haut subiront des modifi- 

 cations analogues. 



T. XXXI. 



