Quelques applications d'une formule, sommatoire ç/énérale. 9 



Après que nous, avions à peu près terminé nos recj-ierches, autant ([ue nous l'a 

 permis le peu de temps dont nous avons disposé pour la composition du présent 

 Mémoire, et (jue nous avions rédigé les pages qu'on vient de lire, nous nous sommes- 

 aperçu que quelques-unes des formules (jue nous venons d'établir ont été connues, 

 et même depuis longtemps, par les géomètres. 



Des cas particuliers de ces formules ont été signalés déjà, par Poisson '), dans 

 un Mémoire remarquable daté de 1813. 



D'autre part la formule (I)' p. 7 a été donnée, sous une forme légèrement 

 modifiée, en 1823 par Abel''^), qui y arrive même par deux voies différentes, mais 

 en laissant de côté la question de la convei-gence. — Il semble d'ailleurs que Plana 

 aurait découvert cette formule trois ans avant Abel, par un calcul également 

 formel "). 



On conçoit d'ailleurs que Cauchy ^), dans ses recherches sur les intégrales dé- 

 finies et dans ses applications de la théorie des résidus, a dû nécessairement ren- 

 contrer des formules du genre de celles qui nous occupent ici. 



Citons encore un Mémoire de Schlömilch*) de l'année 1848, oii se trouvent 

 développés des résultats qui rentrent comme cas particuliers dans nos formules 

 générales. 



Cependant, il semble que la formule d'AsEL soit restée à peu près inaperçue, 

 ou tout au moins sans application, jusqu'en 1889, date à laquelle Keonecker, à la suite 

 de ses recherches sur les formules sommatoires ^), s'en est occupé et en a donné 

 pour la première fois une démonstration rigoureuse. Son Mémoire % d'un style très 

 condensé et d'une notation assez compliquée, ne contient que peu d'applications et ne 

 paraît pas avoir attiré sur la formule en question toute l'attention qu'elle mérite. 



') Second Memoire sur la distribution de TMedricitè a la surface des corps conducteurs 

 (Mémoires de l'Institut de France, Année 1811, II). 



^) Oeuvres complètes (rédigées par HoLimoB) t. II; n:o VII: L'intégrale finie y." (p {x) exprimée 

 par une intégrale définie simple; n:o XVIII: Résolution de quelques problèmes a l'aide d'intégrales 

 définies. 



^) Voir par exemple son Mémoire sur les développements des fonctions en séries périodiques 

 [Mémoires de l'Institut de France, Année 1823), ainsi que la Note des Exercices de Mathématiques 

 (Année 1827) intitulée: Usage du calcul des résidus pour la sommation ou la transformation des séries 

 {Oeuvres complètes, 2° série, t. VII, p. 345). 



*) Développement de deux formules sommatoires {Journal de Crelle, t. 42 pp. 125- 130). 



'■) Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885, ET, pp. 841 — 862, et 1889, II, 

 pp. 867-881. 



') Bemerkungen über die Darstellung von Reihen durch Integrale {Journal de Crelle. t. 105. 

 pp. 345 — 3.54). Ce Mémoire contient quelques notices bibliographiques intéressantes, auxquelles 

 nous renvoyons le lecteur. 

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