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Dernièrement M. J. Petersen ») a démontré de nouveau la formule ö'Abel, à 

 ce qu'il semble sans connaître le Mémoire de Kronecker, et en a donné (juelques 

 applications intéressantes, auxquelles de notre côté nous avions été conduit égale- 

 ment. 



Si, malgré tous ces travaux, nous publions ici nos recherches, c'est d'abord 

 parce que nous osons croire que notre exposition est à la fois plus simple et 

 plus complète que celle des auteurs cités, mais surtout parce qu'il nous semble 

 qu'on ne s'est pas rendu compte de tout le parti qu'on peut tirer des formules en 

 question pour la théorie des fonctions et notamment pour le prolongement analy- 

 tique. Nous osons espérer que cette opinion sera justifiée par les développements 

 qui suivent, bien que le temps nous ait fait défaut pour épuiser, même approxi- 

 mativement, notre sujet. 



Nous ferons d'abord voir que nos formules entraînent comme conséquence 

 immédiate les propriétés si intéressantes des polynômes de Bernoulli. 



Nous en ferons ensuite l'application aux formules sommatoires et en particulier 

 à la formule d 'Euler, et nous obtiendrons pour le terme-reste de cette dernière 

 formule une nouvelle expression qui est, dans certains cas, plus avantageuse que 

 celles données par Poisson et Jacobi. — Cette application a été indiquée en passant 

 par M. Petersen, mais nous pensons que l'importance en justifie une discussion 

 plus complète. 



La troisième application, qui nous semble particulièrement intéressante, est 

 relative au prolongement analytique des séries de Taylor. 



Dans la dernière partie de ce travail, nous apphquerons nos formules à la 

 fonction C (s) de Riemann, dont les propriétés s'en déduisent avec une grande facilité. 

 Nous terminons par l'exposition d'une méthode très simple pour le calcul des zéros 

 de cette fonction, méthode qui conduit sans trop de travail à des résultats numé- 

 riques assez exacts. 



') Vorlesunge7i über Funktionstheorie, (Copenhague 1898). 



