12 Ernst Lindelöf. 



Multiplions par ju. et faisons ii = 2h; il vient 



= A{Gfijr-''t^2C}^ln-''-'f-^- • • + (- if (Tc-^ 1) (7;f -^' w^p-^; , 



et par suite, en posant 



(15) ^„=4./V--4i-=_^t\ (.^l,•-^•••), 



nous trouvons l'égalité 



Pour |« = 2Z,- + 1, un calcul tout analogue nous donne 



+ {-lf^'C^T,,B,n. 



Nous arrivons donc à ce résultat, qu'en posant 



B^^(x) = uT' -kx""-^ + C^lB^J'-- ^ C^l B^j?'-^ + ■ ■ ■ + (~ if C;^-"^' B^_^jr , 

 (1Ö) , 



+ i^lf^'C^l,B^x, 

 on aura, pour tout entier n supérieur à l'unité, 



(17) P^Jn) = fi(p^^(n) = fi{l"-'+2"-' + --- + {n~lf-'} (// = 2, 3,..-). 



Il est d'ailleurs évident que cette propriété détermine complètement les polynômes 

 -P,, (se) . 



Les polynômes (16) s'appellent polynômes de Bebnoulli, et les nombres B^ , 

 B.^,--- détinis par l'égalité (15) sont les nombres de Bebnoulli. 



Les expressions (16) mettent en évidence deux propriétés importantes des 

 polynômes de Bernoulll On trouve d'abord, en faisant :>: = , 



(18) P,,(0) = 0, P,^.^j(0) = 0, 

 et ensuite, en différentiant, 



(19) 



l PL + 1 (■'■) = (2^'- + 1) !^o, (.f) + (- 1)' ' ' i',1 . 



T. XXXI. 



