Quelques applications d'une formule sommatoire générale. 13 



D'autre part, d'après (17), les égalités 



P^ (n) - P„ (n - 1 ) = ^, (« - 1)" - 1 (,«, = 2 , 3 , • • •) 



sont vérifiées pour tout nombre entier n supérieur à l'unité, d'où il suit qu'on aura 

 identiquement 



(20) P,(,.r)-P (.x'-l) = /*(x--iy'-'. 



Pour 33=1, on en conclut, en tenant compte des valeurs (18), 



(21) P^^(\) = (), P2„^i(l) = ü, 



relations qui permettent de calculer par récurrence les nombres de Bernoulli et 

 qui font voir que ce sont des nombres rationnels. La seconde de ces relations: 



est celle donnée par Moivre. 



A l'aide de la relation (20) et des égalités 



P.-,^ (,r) - P,^. (- X) = - 21 j?'-^ , 



P,,^_ j (,r) + P^,^ , (- X) = - (2Z: + 1) x^' , 



qui se déduisent immédiatement des expressions (16), on trouve les nouvelles 

 relations 



(22) P.^, (1 - X) = P.,,. (X) ; Pj,^ j (1 -x) = ~ P2, + i (.*) • 



On y serait encore conduit en appliquant notre formule (111), après y avoir remplacé 

 n par n — 1 . 



Ces relations montrent que le développement de P (x) suivant les puissances 



de *■ — -^ ne contient que des puissances de même parité que (i . Cette nouvelle 



forme des polynômes de Bernoulli s'obtient immédiatement par l'application de 

 notre formule (Vil), qui s'écrit dans le cas actuel, en changeant n en w — 1 , 



En posant, pour abréger, 



(23) ^:-4,J>'-^,,,-?^ = P.^(l-_^,^,) (.= 1,2,...), 

 on en conclut, suivant la parité de [i , 



N:o 3. 



