(25) 



Quelques applications d'une formule sommntoirc générale. 



p , (.•) = (- 1)^- \b,. + u f C^C~°"'' ^^4 , 



I ' J c~ +e — 2cos2iT'.r I 



P2,,,(x) = i-lf + \4:k + 2) sin 2^x f^- zA^ 



J e +e —2 cos 



Ce sont les formules données par Raabe '). 



Si, dans la première de ces formules, on remplace B^ par son expression 



on trouve, après une réduction facile: 



Pu, (^) = (- D* 8^" «in^ ^-r f Ç^- -^^7 \[/^* , 



J e-^ -1 e^'^' + e"^ -2cos2iiric 



résultat qui est dû à Hermite^). 



Comme l'a fait remarquer Hermite à l'endroit cité, cette dernière égalité met 



en évidence la propriété capitale du polynôme Pgi*^"^')» ^^ garder dans l'intervalle 



< X < 1 un signe invariable, à savoir celui de (— 1)*' , de même que la seconde 



formule de Raabe montre que, dans le même intervalle, le polynôme -Pqa + i <•'*') "^ 



remarquant que les expressions 

 e~^'^' — cos2flra:; 



— et ^' 



sin 2fex 



e" +e — 2cos2flr.r e ' +e " — 2cos2sr.7; 



représentent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire du quotient 



5— — -„-^ = — y e~^"~' (cos 2n}rx — ism2nsrx) , 



on tire des formules de Raabe les développements suivants des polynômes de 

 Bernoulli: 



(26) 



n , s , ./(In .^.^7 .V" C0S2WW,X| 



P fe)-(-l)^- + '2(2^- + l)!y siri2n^ x_ 



') Journal de Crelle, t. 42 pp. 348—370. 

 ^) 7ft(VZ. t. 79 pp. 339—344. 



