16 Ernrt Lindelöf. 



Ces développements ne sont valables que pour les valeurs réelles de .r com- 

 prises dans l'intervalle < .r < 1 . Quant aux formules de Raabe, elles ne s'ap- 

 pliquent que dans la bande comprise entre l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe 

 passant par le point x=l. Ces droites sont en effet des coupures pour les inté- 

 grales figurant aux seconds membres desdites formules. 



Désignons respectivement par Pai*^-*'^ ^* -^qj + i'^'^) '^^ fonctions réelles et pé- 

 riodiques de X représentées par les seconds membres des équations (25) ou (26), de 

 sorte qu'on aura pour, /* = 2 . 3 , • • • , 



\ P {x) = P (•>;) dans l'intervalle 0<rc<l, 



(27) _" ■ _ 



P,-{x + M) = P, (.'•) quel que soit l'entier n . 



D'après (19), ces fonctions vérifient pour toutes les valeurs de x les égalités 



(28) ■' _ -t 1 ^ 



1 PL + 1 (-^) = (2 ^- + 1) [Po,- (■'■^ + (- !)'■ ^ ' ^,1 • 



En faisant k = 1 dans la première relation (28), nous définirons une nou- 

 velle fonction Pj (x) " ^ Pg (■?) , laquelle, en vertu de l'égalité P_, (x) = x (x — I) , jouira 

 des propriétés suivantes: 



f P, (X-) = x— ^ pour < .r < 1 , 



(29) Il 



[ Pj {X + n)=P^ (x) quel que soit l'entier n . 



En diff"érentiant la première égalité (26) et en faisant k = l, on trouve pour Pi(x) 

 le développement 



D , , V'sinânsr.i; 



(30) ^i'-^^^ = -Z."^x^-- 



Cette fonction sera encore représentée par l'expression que donne la seconde formule 

 (25) pour l- = 0. 



