Quelques npplieations el' une formule soiuiniüüire (/e'ne'rale. 19 



et enfin pour la troisième intégrale, en se servant des foi-mules de Raabe, 



où 



r B^, (q) (cos 2srT ~ e''"') + Bi^ipï Hin2}rT 

 ;' e +e~ — 2cos2.TT 



i?j. (j9) et i2j. (l'y) désignant les expressions (31i. 



9. Appliquons les résultats qui précèdent à la Hirmule il) p. 5, iiue nous 

 écrirons, en changeant légèrement la notation, 



(35) £/■"'> = -^ [/'('"^ + /'<^»] + / Z''"^' '^"^ + 2 f ['^ (n, f!) - q (m, t)\ -j^^^ , 



ni et n étant des entiers quelconques (m<«i. En se servant de l'égalité (32i, on 

 peut mettre cette formule sous la forme suivante 



où l'on aura, en posant pour abréger f'^'''^'^\n-\~it\ — f'''^'^\m-^i.t) = dut), 



(36) 2] t\v) = i- f/ (m) + /(W)] + I /-(T) ,/T+ 2 (- 1 



\ = è^!'^'^'''^^'''-''''^- 



1 



l' et Ö' ayant la même signification qu'au numéro précédent. 



La formule (36) est la célèbre formule somiiiatoire d'EuLEK. L'expression (37) 

 du reste est dans certains cas plus maniable que celles données par Poisson et 

 Jacobi, sur lesquelles nous aurons d'ailleurs bientôt l'occasion de revenir. 



Dans le cas où l'hypothèse (33) est vérifiée pour r = m et pour t = n, on peut 

 déduire de l'expression (37), à l'aide de l'inégalité (34), pour le module du reste R^ 

 la limite supérieure suivante: 



A":o 3, 



