20 Ernst Lindelöf. 



(38) i?, <,JY%\,P/.. + i('») + ^V,,..iW]. 



Rappelons les conditions dans lesquelles est applicable l'égalité (35), d'où nous 

 avons tiré la formule d'EuLER: 



La fonction f(c) doit être uniforme et holomorphe en tout point z dont l'ab- 

 scisse T est comprise dans l'intervalle m < t < h : de plus, l'égalité {A) p. 5 doit avoir 

 lieu uniformément pour ces valeurs de t. 



Si la fonction f(z), tout en vérifiant les autres conditions, présente à l'inté- 

 rieur du domaine considéré un nombre limité de points singuliers, dont aucun n'est 

 situé sur l'axe réel, on doit, d'après n* 5, retrancher du second membre de l'égahté 

 (35) l'expression S-\- sri(S' — S") , S, 8', 8" ayant la signification indiquée p. 8. Donc, 

 dans les mêmes conditions, la formule (3H) doit être remplacée par la suivante: 



X /"' ''' ^ l t/""" ' + ^" ' I +j /••^' '''' -~ 1^+'' ' ^^' -' ^"^) 



le reste h\. étant toujuurs ilonué par Texjiression (o7). 

 Suit par exemple ù calculer la somme 



ï^ 



n'etn", désignant des entiers positifs. On fera dans la formule ci-dessus m = 



n=^n", fiz) = -„ — - — — ^=-, T-r-T^ ^ — ^ i ••'où il f^uit facilement 



'' z^-2z-^2 (z-l-\-%)(z—l~i)' 



si les entiers n' et n" sont assez grands, cette formule donnera une bonne conver- 

 gence, comme le montre l'inégalité (38). 



10. 11 est intéressant de faire voir comment se rattachent les expressions 

 (lu'ont données Poisson et Jacobi du terme-reste de la formule d' Euler, aux con- 

 sidérations développées dans la première partie de ce travail. 



Reprenons à cet effet la formule (7), en choisissant comme contour d'intégra- 

 tion C un rectangle S,„„, modifié dans le sens (|u'indicjue la figure de la page 4, 

 et écrivons 



T. XXXI. 



