22 Ernst Lindelöf. 



C'est la formule cI'Euler avec l'expression du reste donnée par Poisson ^). 



En intégrant par parties et en tenant compte de la seconde é(]uation (26), ou 

 peut mettre l'expression E^. sous la forme 



Pgj.+ iW étant détini par les égalités (27): mais d'autre part la première éijuation 



(28) nous donne -Po^ + i ('^^^oTT-^'^^' + a '■'^^' ^'^ ^^^'^^ '^^^® ""^"'^^ obtenons, en inté- 

 grant encore une fois par parties et en tenant compte des égalités (18) et (21), 



C'est, à la notation près, l'expression donnée i)ar Jacobi ^). 



Citons encore la formule suivante qui constitue, pour ainsi dire, une première 

 étape vers la formule d'EuLER: 



(44) 



X/'"'^ = i [/■<»«' + /■(«']+ j f'(r>'fT+ (p,(T)f'(ruU 



En remarquant iiu'on a, d'après la définition même, P, (r) = t: — v ~ -^ pour 

 v < T ■< »' 4- 1 , et d'autre part 



"ri "-î-l 



/ ('^^ " ~ 2)'''' w'/'^^ll/'f'') +/'^''+ i'I - /V<'^' ^-^ . 



on vérifie immédiatement que cette formule subsiste dès que la fonction /'(t) et sa 

 dérivée première sont finies et continues dans l'intervalle de m à n. 



D'une manière générale, on constate que l'algoritlmie des polynômes de Ber- 

 NouLLi et les règles ordinaires de l'intégration par parties réduisent la formule 

 d'EuLER à une simple identité, lorsqu'on y prend le reste sous la forme (42) ou (43), 



') Mémoire sur le ralcid numérique des integrales définies {.Mémoires de l'Institut de France, 

 Année 1823, pp 571-6n2>. 



-) De usu legitima forinidae Maclaurinianae {Journal de Crelle. t. XII pp. 263 — 272, 1834). 



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