SUR LE PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SERIES DE TAYLOR. 



11. Les formules générales établies dans la première partie de ce travail four- 

 nissent un moyen très commode pour l'étude des fonctions définies par les séries 

 de la forme ^a^x" ,oi\ a^ est une fonction analytique de l'indice n. N'ayant pas 

 le temps de développer ce sujet intéressant dans toute sa généralité, nous nous 

 placerons dès le début dans un cas bien déterminé, et d'ailleurs assez général, oîi 

 nous allons retrouver, par une voie beaucoup plus directe, et sous une forme plus 

 précise et souvent aussi plus générale, une grande partie des résultats établis par 

 M. Le Roy dans son beau Mémoire, intitulé: Sur les séries divergentes et les fondions 

 définies par im développement de Taylor *). 



En écrivant la fonction donnée sous la forme 



(47) i^(.r) = £, 



nous admettrons relativement à la fonction <f les hypothèses suivantes: 



1" ^f iz) est une fonction analijtiijne de la variable complexe z = r -^ it, holomorphe 



pour tout point z tel que r>0 {sauf jicut-étre à l'origine, oh il suffit que q (z) prenne 



une valeur finie et déterminée): 



2" le nombre positif t viimf donné aussi petit qu'on le voudra, on peut trouver 



un autre nombre positif I\ tel qu'en posant z = f)e"^', ou ait 



(z) I < e 



pour -2<*/'<2' /0>^'' 



Pour appliquer les formules dont il s'agit, on doit poser f iz) = (f iz) x" et déter- 

 miner les fonctions p IT , /i et qir,t) à l'aide des éiiuations (9). En écrivant 



') Annales de la Fcu-idié des Sciences de Timlonse. 2'' Série, Tome II, 19()0. 



^) Il suit (le cette livpothèse (|ue le rayon de oonvergenre de la série i47i est au moins 



