Quelques apjMcntions fj'nnr formule sominainire générale. 25 



(p{r+if)=p,('r,f) + iq,{T,t), 



(p{r~ if)=p,{T,t)~iq, (T,f), 

 on trouve 



f p (r, f) = .r" \j), (r , COS {f log .r) - q^ (T, <) sin (/ log .'/■)[■ , 

 (48) 



[ q {r, t) = x' {p^ (T, O sin (t log ./;) + q^ (t, t) cos (< log x)) ■ 



Cela posé, on conclut immédiatement de l'hj'potlièse 2" que la condition (A) 

 de la page 5, tant que x est réel et positif, est vérifiée uniformément pour 0<r<ra, 

 ciuelque grand que soit n. 



D'autre part on aura, pour les mêmes valeurs de .r, 



f{t: + it)\dt<C '2x'j e~-"'-e'^''' 



'dt. 



où l'on peut faire tendre i vers zéro lorsque t tend vers l'infini. Comme on a 

 J/tH-^' < r y2 pour < ï! < t, et J/t^^^ < t y 2 pour / > t, le second meml)re 

 de l'inégalité précédente est inférieur à la somme 



2./c'"''- ïe-'^^dt + ^x' ï e'-'""'"^'' dt, 



dont les fleux termes tendent vers zéro pour lira r = oc , si l'on impose à la variable 

 X la condition < a; < 1 . Pour ces valeurs de a;, la condition (B) de la page 6 est 

 donc vérifiée, et par suite nous pouvons appliquer la formule (IIl)', qui nous donne 



(49) 



i^(a;) = £<p(n),x"= 2 



(50) H{x) = ~2J' {p, (0 , t) sin {f lo- .r) + r/, (0, /) cos {f, log x)) -^— , 



(51) I{x)= ^ if {t) x' dt . 



Pour arriver à la formule (49), nous avons supposé < .r < 1 . Mais comme 

 les deux membres de cette formule sont des fonctions analytiques de x, elle 

 sul)sistera dans tout domaine oii ces fonctions sont holomorphes. 



12. Etudions d'abord l'expression n(x). En posant ,T = re"', on trouve 



sin(noga-)I = ^-±'^('l^'!, jcos(nog.r)| = ^-t^^e'''' (0-0), 



