26 Ernst Lindelöf. 



f, et «2 tendant vers zéro lorsque t tend vers l'infini. Comme les expressions 

 j>i (0, /!) I et |(Zi(0,Ol, d'après l'hypothèse, croissent moins vite quee^'^i, quelque 

 petit quelsoit «, on en conclut immédiatement que l'intégrale (50) et sa dérivée par 

 rapport à x sont des fonctions finies et continues pour — 2^ < < 2^, r >0, 

 d'où ce résultat: 



L'expression H {x) définit une fonction anahjuqiie de lu variable XT=re"' qui est 

 holomorphe pour tout point du domaine 



(52) -2ff<e<2^, r>0. 



Il s'ensuit encore, d'après Tégalité (49): 



La différence F{x) —I(x) est holomorphe pour tout point du domaine (52), do 

 sorte que la fonction F(x) // admet précisément les mêmes singularités que l'expres- 

 sion I{x). 



La fonction H(x) peut se développer en. série suivant les puissances entières 

 et positives de la quantité ,r — 1, série qui sera convergente pour i.T— 1|<1-, et, 

 dont les coefficients se déduiront facilement de l'intégrale (50). Le ternie constant 

 de cette série s'écrit par exemple 



H(\) = -2^q,(QJ)j~- 



Mais pour le calcul effectif, il vaut mieux substituer dans l'expression H{x) 

 ^ = (-1^.) ' ''0^^ loga; = 8(^î< + — + ^ + •••]• 



On obtient ainsi un développement procédant suivant les })uissances entières et 

 positives de la quantité 



4 



u = h , 



et représentant II{x) pour tout point du domaine (52)'). 



Faisons maintenant tendre ./; vers zéro avec un argument déterminé compris 

 entre — 2?r et '2st. L'expression I{x) tendra évidemment vers zéro, et par suite 

 l'égalité (49) nous donne 



') Cf. pp. i:î^l4 de notre Mémoire: Remarques sur nu principe ge'ne'ral de la ihe'orie des f'nnc- 

 lioiis tinali/li(p(i:s i^Tome XJCIV de la présente série de ])ublications). 



T. XXXI; 



