QKclques ap2}licafions d'une formule sommatoire générale. 37 



(53) lim H (X) = \ tf (0) . 



D'autre part, si Von admet que l'intégrale l \ qi (0 , t) \ ^ a un sens (a étant un nombre 



positif (luelconque), condition (pu est toujours vérifiée loi^sque <p (^) est liolomorplie 

 à l'origine, on voit facilement que l'intégrale 



( qi{0,t)Goa{tlogd^ 2 fr— 

 J e — 1 



s'évanouit lorsque ./• tend soit vers U, soit vers x avec un argument déterminé, 

 de sorte qu'on aura dans les deux cas 



lim H {.r) = lim - 2 f p^ (0,t) sin {t log x) -„-^ [ • 



(_)r, en l'emplac^ant x par — , on trouve (jue la limite vers latiuelle tend l'expression 

 entre parenthèses, lorsque x tend vers zéro avec l'argument fl, est égale et de signe 

 contraire à la limite vers laquelle tend cette même expression lorsque x tend vers 

 Tintini avec l'argument —6. Comme la première de ces limites, d'après (53), est 



égale à .^ (f{0), la seconde devient donc —-^ff'(0), et par suite nous obtenons 



(54) UmH(x) = ~^(f{Q). 



13. Passons maintenant à l'étude de l'expression (51), que nous écrirons, eu 

 changeant la notation de la variable d'intégration, 



(55) 



1 (f iz) x' dz . 



Tant (lu'on effectue l'intégration suivant l'axe réel positif, cette expression n'a de 

 sens qu'à l'intérieur du cercle |.X| = 1, où elle définit une fonction analytique /(x), 

 holomorphe partout, sauf à l'origine qui en est un point critique. 



Mais il est facile d'étendre le domaine d'existence de cette fonction I(x) en 

 dehors du cercle de rayon un. Prenons en effet, dans l'expression (55), comme 

 chemin d'intégration non pas l'axe réel positif O A, mais un rayon OB issu de 



Nîo 3, 



