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roriginu O ut formant avec cet axe un angle ip compris entre ^— et -^, comme 

 l'indique la figure ci-dessous. En posant comme plus haut z = pé^^ , x = ré''^ ^ on 



aura sur le rayon OB 



fl I log r cos i/j — e sin i/i) 



(56) I ,r ! = e , 



et comme \ff{z)\ croît moins vite que e^'", quelque petit que soit f, on voit donc 

 que l'intégrale (55), prise le long du rayon 0J5, représente une fonction analytique 

 /(*■, x\)] qui est holomorphe pour tout point du domaine jP((/') défini par les inégalités 



(57) log r cos »/' - e sin (/^ < , /•>0. 



Dans le cas présent, où l'angle \p est supposé aigu, le domaine T {,ip) comprendra 

 les points intérieurs à la spirale logarithmique 



f> ta i/! 



(58) /- = 6 ^ , 



excepté l'origine. 



I^a fonction I{x, ip) donne le prolongement analytique de I{x) en dehors du 

 cercle de rayon un. l^our le faire nettement voir, traçons un arc de cercle CD de 

 centre et de rayon R. L'expression x^ (p {z) étant une fonction holomorphe de ,:• 



dans le secteur OC D, l'intégrale I x^ tp (z) dz , prise le long du contour de ce secteur, 



est égale à zéro. Mais d'après (56) on aura sur l'arc CD, en supposant .'; réel et 

 compris dans l'intervalle < a; < 1 , 



- R cos Ü) loa; ( — | 

 |a;'|<e U-y. 



Comme d'autre part \<p{z)\<Ce''', l'intégrale relative à l'arc CD tendra donc vers 

 zéro lorsque E augmente, et par suite, pour les valeurs considérées de x, l'intégrale 

 (55) aura la même valeur, qu'on prenne l'axe réel ou le rayon OB comme chemin 

 d'intégration. En d'autres termes, on aura I (x) = I (x , i/j) pour ()<.i'<l, ce qui 

 prouve l'exactitude de notre assertion. 



T. XXXI. 



