Qitchiuc.'^ ((pplicalioHs d'une funiinlc ■sominaloirc (/éiu'ralc. 29 



Lorsiiue W tend vers \^, le domaine Tiifj) tendra à embrasser tout point x 

 dont l'argmiient ö est positif. Pour '/' = ^, d'où z = it, l'intégrale (55) devient 



- / '•' " ' {P\ (U, t) sin {t log rj + ^71 (U, ^) cos [t lug /•)}• ri i! 



+ ife~"^ !Pi (0, if) cos {t log /•) - r^, (O, t) sin (îf log r)^dt, 



et cette expression représente la fonction I(x) dans tout le domaine Ö > (J. 



De même, pour 1/' = — -^, le domaine yii//) embrassera tout point x tel qne 

 Ö<0, et en ces points la fonction I(x} sera représentée par l'expression 



- f e" ' >i (0 , sin (!! log r) + q^ (O , î') cos [t log r)} r?îf 



- '■ r e" ' ! Pi (0, cos {t log r) ^- o^i «-•, O sin (/ lug r)\ dt. 



Nous avons donc obtenu ce résultat: 



En dehors de F origine, la fonction I (x) est ixirtout régidicre, sauf peut-être sur 

 le segment 1 00 du rayon d'argument = 0. 



Les expressions ci-dessus montrent d'ailleurs ([ue la fonction lix) tend vers 

 zéro lorsque x tend vers l'infini avec un argument positif ou négatif quelconque, ou 

 encore lorsque tend vers + 00 ou vers — =0, quel que soit r. 



En rapprochant ces résultats de ceux du numéro précédent, nous arrivons au 

 théorème important que voici: 



Sous les conditions énoncées plus haut, la fonction F(x), définie par la série (4=7), 



est holomorphe dans tout le plan, sauf petit-être sur le segment 1 00 de l'axe réel; 



cette fonction tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini suivant un rayon quelconque 

 dont l'argument 6 est compris entre et 2sr. 



La première partie de ce théorème restera encore vraie, si les conditions citées 

 sont vérifiées, non pas pour (p{z), mais pour (f> {n,, -\- z) , n^ étant un entier positif 

 quelconque. C'est ce qu'on voit immédiatement en détachant de la série (47) les 

 termes d'indice n<Ko, et en appliquant au reste de la série les mêmes raisonne- 

 ments que ci-dessus. 

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