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14. Nous avonö vu plus haut (jue, dans le domaine (52), la fonction F{x) 

 admet précisément les mêmes singularités que la fonction lix); mais ce n'est pas 

 tout. En effet, nous allons voir que si l'on sait étudier la fonction I(x) pour toutes 

 les valeurs x, il en sera de même de la fonction Fix). 



La fonction Fix) étant holomorphe dans le cercle de rayon un décrit de 

 l'origine comme centre, l'égalité (49) nous montre d'abord qu'à l'intérieur de ce cercle 

 la fonction H(x), comme lix), n'aura d'autres points singuliers que l'origine. 



Menons dans le plan de la variable x les coupures 1 \- oo et oo 



suivant l'axe réel, et désignons par T le domaine ainsi formé. Nous appellerons, 

 branches principales et désignerons par F{x),Hix),ïix) les branches des fonctions 

 i^(./), H(:r\^ I{x) qui sont définies dans le domaine T par les expressions (49), (50), 

 (51) ou leurs prolongements analytiques. 



Ces branches, liées entre elles par la relation 



F u:\ = l (f Uj) + H i.r) -f / ix) , 



sont toutes holomorphes à l'intérieur du domaine T. D'ailleurs H(x) est holomorphe 



pour tout point de la coupure 1 h <» , et Fix) pour tout point de la coupure - — oo . 



En pai'tant d'un point x^ situé sur l'axe réel entre l'origine et le point 1, 

 traçons un contour C revenant au point x„ après avoir franchi la coupure 



00 , mais n'ayant aucun point commun avec l'autre coupure. Lorsque x décrit 



ce contour, Hix) et lix) seront transformés en de nouvelles branches H^ ix) et /i ix) 

 des fonctions H et I, tandis que Fix) ne changera pas. On en conclut la relation 



(59) Hi (,r) + /i (,/•) = H{x, + î ui . 



Cela posé, faisons décrire à la variable x un contour C" issu du point x^ et 



]-evenant à ce même point après avoir franchi la coupure 1 h °o , et admettons 



que lix) peut se prolonger tout le long de ce contour (". Les nouvelles branches J\ ix) 

 et Xj (^) avec lesquelles on reviendra au point x,, , seront liées par la relation 



Fl ix) =^-(fiO) + H ix) + li ix) . 



Supposons que I^ (x-) soit holomorphe en tout point du contour C envisagé plus 

 haut, et désignons par X, (a-) la branche avec laquelle on reviendra au point x-q, en 

 cheminant le long de ce contour. En tenant compte de l'égalité (59), on voit alors 

 ([ue, la variable x décrivant le contour C, la branche F^ ix) sera transformée en la 



suivante: 



F2 m 



