Quelques applications d'une formule soininnfoire (jénémle. 31 



En continuant de la sorte, on arrive à ce résultat (lue toute, branche de la 

 fonction Fix) peut se mettre sotis la forme F(x)-\~un nombre fini de termes dont 

 chacun est un multiple entier.^ positif ou négatif, d'une branche de la fonction I{x). 

 Donc, si l'on sait étudier toutes les branches de cette dernière fonction, on sait 

 par là même étudier toutes les branches de la fonction donnée F(x)', ce que nous 

 voulions démontrer. 



15. On peut pousser plus loin l'étude de la fonction (47i dans les cas où sont 

 vérifiées les hypothèses suivantes: 



1" la fonction y iz) est holomorphe dans le demi-plan à droite de l'axe imaginaire 

 et sur cet axe {sauf peuf-f'tre h V origine, oii il suffit que (f iz) prenne une valeur finie 

 et déterminée); 



2" quelque grand que soit l'angle il.ifj , on peut trouver un nombre positif R tel 

 que (f iz) soit holomorphe pour — (/'o < '/' "^ '/'o j i" ^ -B (sauf peut-être a l'infini); 



3" quelque grand que soif ipf, et quelque petit que soit «, on a 



\(f {z]\<^e^^ pour — ip„ <ip< ip„ , 

 dès que p dépassera une certaine limite. 



Ces conditions portent sur la branche jnincipale de (p <z) , qui a fourni les coef- 

 ficients de la série (47). 



Nous allons faire voir ({ue, sous les conditions énoncées ci-dessus, la fonctioyi 

 lu-) n'a a distance finie d' autres points singuliers que V origine et le point ir = 1, 6 = 0). 



A cet effet, étudions d'abord les variations que subit le domaine Tk/^i, défini 

 par les inégahtés (57), lorsque l'angle ip varie. Nous avons déjà dit que ce domaine, 



lorsque 0< (/'<—, comprend les points intérieurs à la spirale logarithmique (58) 

 (excepté l'originel, laquelle, pour ip = 0, se confond avec le cercle de rayon un et, pour 



particulier, pour ip = st, le domaine extérieur au cercle de rayon un; pour 

 — <(/'<—, ce sera de nouveau le domaine intérieur à la spirale (58), laquelle, 

 pour ip = 2st, se confond avec le cercle de rayon wn; et ainsi de suite. — Pour les 

 valeurs négatives de xp, on est conduit à des résultats analogues. 



Cette discussion, qui devient plus claire à l'inspection d'une figure, conduit à 

 la conclusion suivante: 



