32 Ernst Lindelöf. 



Partant p. ex. d'un point situé sur le segment 1 de l'axe réel, faisons 



déci-ire à la variable .r, d'un mouvement uniforme, une courbe quelconque S, ne passant 

 ni par l'origine ni par le point (r=l, = 0), et aboutissant à un point quelcon(iue 

 :i\ distinct de ces deux points; on pourra prescrire à l'angle (/' ime variation continue 

 telle que le point ,r, en décrivant la courbe S, soit à chaque instant intérieur au 

 domaine T{ip), lequel variera d'une manière continue lorsque le point .r se déplace. 

 Nous désignerons par ipo la plus grande valeur muuérique atteinte par l'angle i/' 

 dans la variation considérée. 



Ceci établi, déterminons le nombre E conformément à l'hypothèse 2", et traçons un 

 cercle f!^ ayant l'origine comme centre et de rayon i?. Nous allons considérer l'intégrale 



(60) r ./■-' (p iz) dz , 



* /' 

 le contour d'intégration F se composant des parties suivantes: 



l" le segment — R de l'axe réel; 



2' l'arc du cercle C^ compris entre les points z = R et z = lic"'': 



3" la partie du rayon vecteur passant par le point z=Tie''^' qui s'étend de 

 ce point à l'infini. 



Pour (/' = 0, le contour F se réduit à l'axe réel positif, de sorte que l'intégrale 

 (60) représentera la fonction /la-), si l'on suppose x intérieur au cercle de rayon un. 

 Pour une autre valeur quelconque t//', comprise entre — (/'o et +i/'o, l'intégrale (60), 

 en vertu des hypothèses admises, définira une fonction analytique holomorphe dans 

 le domaine T ((//'), et en faisant varier tp d'une manière continue de à tp', on 

 conclut, par un raisonnement analogue à celui de la page 28, que cette fonction 

 donne bien le prolongement analytique de I(x). 



En faisant décrire au point x la courbe S d'un mouvement uniforme, et en faisant 

 en même temps varier l'angle ip comme il a été dit ci-dessus, on voit dès lors que 

 la fonction I(x) peut se prolonger tout le long de cette courbe et qu'elle sera holo- 

 morphe au point x^. Comme x^ était un point quelconque distinct de l'origine et 

 du point (r = l, 6 = 0), notre proposition est donc bien démontrée. 



En rapprochant ces résultats de ceux des numéros précédents, nous arrivons 

 au théorème que voici: 



Sous les conditions énoncées p. 31, la fonction F(x), définie par la série (47), ne 

 peut admettre d'autres points singuliers que 0, 1 et oo (le point étant en général 

 point singulier pour toute branche de F(x) autre que la branche principale). 



Pour que ce théorème subsiste, il suffit d'ailleurs que les conditions dont il s'agit 

 soient vérifiées pour la fonction (f{n„ + z), ??„ désignant un entier positif quelconque. 



T. XXXL 



