Qiichines (qqdicatioHit il' une foriniilc somiiiafoirc (/('ix'ralc. 83 



16. Soit comme plus haut F(x) la branche principale tle la fonction Fix), 



c'est à dire la branche ([ui, h l'intérieur d« cercle de rayon un, est représentée par 

 l'expression 



(61) 



F{x) = ^(p{0) + H (.f) +J X (f (T) d 1 



l'intégrale étant prise le long de l'axe réel positif. Traçons un contour fermé 

 enveloppant le point x=l, mais non l'origine ; lorsque le point x décrit ce contour 

 dans le sens rétrograde, F(x) se changera en une nouvelle branche que nous dési- 

 gnerons par -Pi (a;). Or il suit du raisonnement du numéro précédent que cette 

 dernière branche, sous les conditions énoncées p. 31, est représentée à l'intérieur 

 du cercle de rayon un par l'expression 



(62) P, (.r) == ]^ y (0) + F (.r) + Ix' <f [z) dz. 



oii le contour d'intégration P se compose des parties suivantes: 



1" le segment R de l'axe réel; 



2" la circonférence C^, parcourue dans le sens direct; 



8" le segment R h « de l'axe réel. 



Le rayon R du cercle C'^ doit être pris assez grand pour que la branche prin- 

 cipale de (f{z) soit holomorphe pour 0<i/'<2?r, /> > jB (sauf peut-être à l'infini). 



Considérons quelques cas particuliers oîi l'on peut facilement calculer la diffé- 

 rence F^ix)~F(x): 



(a) La branche principale de la fonction <f (z) est uniforme à l'infini. — Le 

 nombre R étant déterminé comme il a été dit, la fonction cp (z) sera alors uniforme 

 en dehors du cercle C^, et par suite les égalités (61) et (62) nous donnent 



i-; (./■) - F (x) = I x' (f. (z) dz , 



l'intégrale étant prise le long du cercle C^ dans le sens direct. 



A l'extérieur de ce cercle et sur sa circonférence la fonction (f (z) pourra être 

 représentée par un développement de la forme 



'/(^) = L^'i„'?". 



et, en substituant cette expression dans Tégalité ci-dessus et en effectuant l'inté- 

 gration terme à terme, on obtient ., 



