34 Ernst Lindelöf. 



(63) Fl {X) - F{:x) = 2 .t? £ ,^y^ (log x)" ~ ' . 



Le second membre étant une fonction entière de log x, on peut à l'aide de cette 

 égalité calculer la valeur d'une branche quelconque de la fonction F(x) en un point 

 donné du plan, si l'on connaît la valeur que prend en ce point la branche princi- 

 pale F(x). 



(ß) La fonction <p (z) est uniforme dans tout le plan et ne présente qu'un nombre 

 fini de points singuliers. — Les résultats précédents sul)sistent, mais on pourra 

 remplacer l'égalité (63) par la suivante: 



(64) Fi(:x)-F{:r) = ^!iiS, 



S désignant la somme des résidus de la fonction x'ipd) relatifs aux points singu- 

 liers de ip (z) situés à distance finie. 



Ce résultat s'applique par exemple lorsque y (z) est une fonction rationnelle 

 quelconque de z. Il serait intéressant d'étudier ce cas plus en détail et de faire 

 voir comment varie la nature des singularités de F(x) avec la position et l'ordre 

 des pôles de (f>(.z). Mais nous devons y renoncer pour le moment. 



(y) La fonction cf (z) est holomorphe dans tout le plan. — Ce sera alors une 

 fonction entière dont le module maximum sur le cercle \z\=p croît moins vite que 

 e^'\ quelque petit que soit le nombre s, propriété qui appartient, comme on sait, 

 à toute fonction entière de genre et à certaines fonctions de genre L Dans ce 

 cas l'égalité (64) devient Fi{x) = F{x), et on en conclut que la fonction F{jf) est 

 uniforme dans tout le plan et admet x = l comme seul point singulier. Le théorème 

 (le la page 29 montre d'ailleurs que F{x) s'annule à l'infini. 



On pourrait traiter par la même méthode le cas où (p (z) est ime fonction 

 algébrique, ou plus généralement les cas où un nombre fini de branches de </> (s) 

 se permutent autour du point à l'infini; mais nous n'insisterons pas sur ces géné- 

 ralisations (lui ne présentent aucune difficulté. 



17. Appliquons la formule (49) aux cas les plus simjiles. lïn faisant d'aboi'd 

 (f(z)=l, d'où i^(A') = — — — , cette formule s'écrit 



1 1 1 ^ f ■ ,., , dt 



l~x 2 logo.' J ^ e^-'-l' 



d'où l'on tire, en substituant * = e", 



