Quelques applications d'une formule summatoire générale. 



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c'eriL la formule dunnôe ])ar Legendre. En tenant compte des égalité« (15), un en 

 déduit le développement bien connu 



c» -\ y 2 ^ 2 •' 4 3 ! ^ (j 5 ! 



.Suit maintenant 



^'<')=i:::- 



Pour i|ue les conditions énoncées p. 31 soient toutes vérifiées, nous devons supposer 

 la partie réelle de s négative; la formule (49) nous donne alors 



(65)' 



En usant d'un artifice bien connu, on peut donner à cette égalité la forme 



le contour d'intégration G se composant p. ex. des parties suivantes: 1* le segment 



+ 00 le de l'axe réel (0 < a; < 1); 2" le cercle de centre et de rayon k, parcouru 



dans le sens direct; 3" le segment fc \- <x> de l'axe réel. L'intégrale relative à 



ce contour étant une fonction entière de s, la formule (65)' subsistera pour toutes 

 les valeurs de 5, sauf les valeurs entières. 



On vérifie facilement sur la formule (65) les résultats généraux obtenus plus 

 haut. Les seuls points singuliers sont 0, 1 et oo . Lorsque x tend vers l'infini avec 

 un argument déterminé, toutes les branches de la fonction tendent vers zéro, pourvu 

 que la partie réelle de s soit négative. 



En développant l'intégrale figurant au second membre de (65) suivant les puis- 

 sances de X— 1, on trouve l'égalité 



(66) £ ^ - ^' (1 - *■) [log ( î- )1 = '^0 + ^^1 (''■• - 1) + ^2 (.'• - 1)^ + • ■ • , 



:embre s'exprimant soi 



les coefficients du second membre s'exprimant sous forme d'intégrales définies. En 

 particulier, il vient 



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