LA FONt'TIOX 'Cm hE RIEMANN. 



18. On sait quLJ la fonction ^(s), ijui est représentoo pai- la série 



tant (jue la partie réelle de s est supérieure à l'unité, est une fonction unifoi-nie 

 dans tout le plan, ayant pour seul point singulier à distance tinie le point s=], 

 où elle devient infinie comme le terme — — r . C'est ce qu'a établi Riemann en par- 

 tant de la formule 



1 r r' " ^ 

 i (s) .1 e — 1 



(lui est valable sous la même condition que la série donnée. 



Ce caractère de la fonction C(s) est d'ailleurs une conséipience immédiate de 

 la formule sommatoire d'EuLER. En eft'et, en faisant dans l'égalité (46) f(r} = T~\ 

 w( = 1 , on obtient, en supposant la partie réelle de s supérieure à l'unité, 



1 , 1 , V' , V + 1 5. s (*• + 1) • • • (s -I- 2 »' - 2) , „ 



„ _ __ S{S+l)---iS + 2li+ h [ ^2A_+ -2^) 



''•~ l-2---(2fc>2) J ^.. + 2-i- + 2 "^• 



Or cette dernière expression est évidemment une fonction holomorphe de s tant (jue 

 la partie réelle de cette variable est supérieure à — (2ä;+1). Comme l'entier k 

 peut être pris arbitrairement grand, et comme les autres termes du développement 

 ci-dessus, à l'exception de r , sont des polynômes en s, on voit donc que la fonc- 

 tion Cf-S) a bien le caractère indiqué. 



