38 Ernst Lindelöf. 



19. Contbnuénieiit à la notation adoptée dans la premiùre partie de ce travail, 

 posons maintenant 



/'(,2) = ^"\ /'(tH- /<i L_ fT' + i/r'=_p(T, ^i + ny (T, ^), 

 d"oü il suit: 



qtT,t) = ~ (T'a + P) - sin (s arc tg ) . 



Lu partie réelle de s étant toujours supposée supérieure à, l'nnité, on peut constater 

 iinniédiatenient (|ue les formules du n" 4 sont applicables. La formule d)' s'écrit i| 



ou si l'on veut, en posant arctg< = ic, 



1 J /'■-■. .-') dx 

 +•„ i+2| sin(.f.r|(cos.r) ~^^^ 



^-1 



De même, la formule (II)' nous donne, pour «^ o' 



2jQ+^f ^in..arctg2^,^^:'^ 



Uli liicii, on posant arctg2< = x', 



V , ( 1 ,, n . .s- ■' d.r 1 



iW») <.i.v) = 2 \ .,-2 sm (s.r) (cos ^O -,„^- , 



L'une iiuelcontiue de ces expressions définit la fonction l(s) dans tout le plan 

 et eu met en évidence certaines propriétés intéressantes. Ainsi la formule (68) nous 



(70) 



(71) 



'C (0) = 2 I arc tg t ^j-^ 1 , 



./ e"" — 1 



t dt 





Cette formule a été indiquée par M. Petersen, mais sous uue l'orme moins simple. 



T. XXXI 



