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iLeö valeur-s des intégrales qui ligurent dans ces expressions se déduisent im- 

 médiatement de nos formules générales. En effet, la formule (1) nous donne, pour 



log (1 • -2 • • • »0 = 1 — 2 I arc tg ^-7— h (n + -.) log n - w + 2 I arc tg - ~^--. • 



,/ e" " — 1 \ ^ ' J " e — 1 



La comparaison de ce résultat avec l'égalité 



log (1 • 2 • • • n) = log V2^ + U + --) log n -n + s (n) ( lim « (n) = o) 



montre que V expression (70) est égale à —logY^sr. 



D'autre part, la formule (la)' s'écrit, pour f(z) = - , 



Donc l'expression (71) est égale à la constante d'EuLER. Cette expression de la con- 

 stante d'EuLEH a été donnée par Poisson i). 



De la formule (69) nous pouvons conclure ijue l, (s) n'a pas de zéro réel compris 

 entre l'origine et le point s=l, puisque dans cet intervalle les termes du second 

 membre sont tous les deux négatifs. 



20. Reprenons pour un moment la formule (2), qui a été le point de départ 

 de nos recherches, et choisissons comme contour d'intégration un rectangle R^j^ 

 (m < (ï < w + 1) , dont on aura remplacé un segment, comprenant l'origine, par un 

 demi-cercle c de rayon s, ayant l'origine pour centre et tournant sa convexité vers 

 la droite. Lorsqu'on fait tendre vers l'infini le nombre ß et la hauteur du rectangle, 

 i gai'dant au contraire une valeur fixe, on se trouve amené, par le même raisonne- 

 ment qu'aux n°' 1—3, et en supposant vérifiées les conditions requises, à la formule 

 suivante : 



£/(,') = - 2J (1(0, t)j^^^^ y[/'(^ + ,:,) + /(r -/*)], /T+ .^^. j/•(?)cotg.T^(/^• 

 la dernière intégrale étant prise le long du demi-cercle c, du point if. au point — it. 



Dans le cas actuel, où f(3)=^z~'\ cette formule est applicable dès ([ue la 

 partie réelle de s est supérieure à l'unité, et nous donne 



') ih'mohrti ,h' riiiKlIliit de.Franre, Année ISll JJ, p. 223. 

 N:o i. 



