40 Ernst Lindelöf. 



?(.) = 2sin(^^)J4;;^^ + sin(^);"~ + i.jV-cotg^../.. 



Or on voit de suite que, pour une valeur donnée de e, cette égalité subsiste dans 

 tout le plan, malgré la restriction qu'on a dû imposer à la variable s pour y arriver. 

 On peut donc, en particulier, donner à s une valeur dont la partie réelle est néga- 

 tive, et en faisant tendre « vers zéro, on obtient alors 



(72) ^(^) = 2«'"(¥)/i^' 



formule qui est valable dans tout le demi-plan situé à gauche de l'axe imaginaire. 

 L'expression (72) met en évidence que la fonction C (s) s'annule aux points 

 s = — 2, — 4, — 6,--- Pour s = — (2 w — 1) , elle nous donne 



En faisant, dans le second membre de (72), 2stt = x. nous trouvons 

 ? (.V) = 2 (2 ^y - ' sin i^J) j -^3- ^^ . 

 et par suite, par comjiaraison avec l'égalité (G7), 



(73) t {s) = 2 (2 ^)" - ' sin ( ^ ) /' ( 1 - .s) i ( I - -^) , 

 d'ou suit la fiirmule asymptotique 



(74) t (s) = 2 (2 jr)— ' sin ("^^*') /' ( 1 - .s-) ( 1 + « (s)) JUra « (s) = 0\ , 



ijui a lieu sur tout rayon issu de l'origine et dont l'argument est com]»ris entre 

 sr . 'est 



2'^^-2'- 



(^r la théorie de la fonction F fournit la relation 



sin ( T,' ) /'(1 - -S') = 2-"- ] -.T ^- . 



et, en posant 



(75) ,(,) = ^-^r(|)c(.). 



nous pouvons donc écrire l'égalité (73) sous la forme , 



