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(76) X (v) = Z(1- in- 



cest le théorème fondamental établi par Riemann. 



La théorie générale des fonctions entières, créée par M. Hadamard, permet de 

 conclure de la formule asymptotique (74) que la fonction ^ {s} admet une infinité de 

 zéros «1 , «2 , • • • , distincts des zéros — 2 , — 4 , • • • , dont l'existence est révélée 

 par l'expression (72). Or on sait, d'après l'expression qu'en a donnée Euler sous 

 forme d'un produit infini, iiue la fonction C (s) ne s'annule pour aucune valeur s 

 dont la partie réelle est supérieure à l'unité. Il en est donc de même de la fonction 

 X (s), et par suite on peut conclure de l'égalité (76) que les zéros a sont tous situés 

 à l'intérieur ou sur la frontière de la bande comprise entre l'axe imaginaire et la 

 parallèle à cet axe passant par le point s = l. 



L'égalité (7(3) nous montre, d'autre part, que la fonction y, {s) prend des valeurs 



réelles sur la droite D parallèle à l'axe imaginaire et passant par le point s =2' 



Si les zéros a n'étaient pas situés sur D, ils seraient donc deux à deux symétriques 

 par rapport à cette droite. Or la fonction ^ {s), d'après les propriétés qu'on en connaît, 

 ne présente aucune espèce de symétrie par rapport à la droite en question. 11 est 

 donc plus que probable que les zéros a sont tous situés sur la droite D, bien qu'on 

 n'ait pas encore réussi à le démontrer rigoureusement. 



2L Appliquons encore à la fonction t (s) la formule (1)" du n" 4; elle nous 

 donne 



1 1 11, n^'" 



+ 3.-/(l+|;) %m(.«arcl«^)^-ä#j, 



égalité valable pour toute valeur de s. En développant la dernière intégrale suivant 

 les puissances négatives de n, à l'aide de l'équation (32), on est conduit à la formule 

 suivante: 





4' 1.2-3 ^«+3"^ ^' ' 2Z" 1.2---(2fc-]) 

 le reste i?,. étant assujetti à l'inégalité (R4). 



iN:o X 



