42 Ernst Lindelöf. 



Cette même formule s'obtient encore de l'égalité (46), en remplaçant m par n, 

 et en ajoutant aux deux membres la somme 2 /'(''), et par cette voie on trouve 

 pour le reste R^. l'expression exacte que voici: 



La formule (77) est intéressante sous plusieurs rapports. Elle nous donne 

 li'altord, comme pi-emi(~'ro approximation, 



n.)=lim|l + U...+ -^-; + ^- + '^|, 



égalité (jui s"appli(jue dôs ([ue la partie réelle de s est supérieure à —1. Puis, en 

 égalant s à un entier négatif, on en tire les expressions des polynômes de Ber- 

 NOULLi. En différentiant et faisant .s = 0, on obtient la formule de Stirling pour 



logd •2---W). Enfin, en retranchant des deux memlires le terme , puis en 



faisant tendre s vers l'iuiité, on en conclut h» dévelojipenient connu de la constante 

 eulérienne. 



Mais l'importance de la formule (77) consiste surtout en ceci, qu'elle fournit 

 le seul moyen vraiment pratique pour le calcul numérique des valeurs de la fonction 

 t (s). Pour mieux nous en rendi'e compte, nous allons chercher une limite supérieure 

 du module du reste B^.. 



Pour les valeurs réelles de s. on conclut immédiatement de l'inégalité (34) 



en liosant pour abréger 



T = r- 1 f ^' ■' (•^•±i)^- • (* + 2 r-2) 1 



- * ' 2,- ]-2.r.(2V-]) ,/ + 2"-'" 



Comme -Pgi + s^'^^ ^ '® ^'?"® ^^ (— 1)'' '^S on voit d'ailleurs que K,. aura le même 

 signe que T^^ + j, «i s>-(2k+l). 



Donnons maintenant à la variable s une valeui- complexe'): 



s = .2- + i y . 



L'intégrale qui figure dans l'expression (78) s'écrira 



') Il va sans dire <|u'on oalculera dans ce cas les termes T^ eu formant le produit des 

 es et la somme des arguments des divers facteni-s iiii'ils coutienn'-nt. 



