Quelques applicatwns d'iim; forinule summatuire générale. 43 



/ ^J/, f ■_> W U-^^« (.'/ log T) - i sin (// log T)] ^^7+2 , 



ii k' module ile cette quantité est inférieur à 



r \Pn,. . .(tW 



limite iiui sera d'ailleurs d'autant plus grossière (juo la valeur numérique de y est 

 plus grande. 



D'après n" 6 on a 



/" P,,^,(r) ./r=J^ P^^^^(^) ^r = %i' 



(luel (jue soit l'entier v, et en apj)liquant à l'intégrale précédente le premier théo- 

 rème de la moyenne, on obtient donc 



les nomi)res t,, t^, • • • étant respectivement compris dans les intervalles (n, w + -^ ), 



Il est facile de voir que la somme de la série entre crochets est sensiblement 

 a: + 2i-+2 ' ^" ^oute riguour, on peut conclure »lu'elle est inférieure à 

 l'expression 



C dr , 1 2/1 , 1 



'^\ «x,+ 2i-+2+ ^x+2A- + 2 ^-r + at+i ia,._^2ifc+l+ 2w 



En somme, nous trouvons donc, lorsque s = x + iy, pour le module du reste 

 B^ la limite supérieure suivante: 



(79) l^.l<l^+2^ + l'(^2T+T+2^)'^..J- 



On obtiendra souvent une limite plus approchée en se servant de l'inégalité 

 évidente 



(79) ' ' -R. K I ï^. + 1 i + 1 î'. + 2 ' + • • • + î r, + , I + 1 ^, + J , 



où l'on choisira convenablement l'entier v, et où l'on remplacera le dernier terme 

 par la limite supérieure* qu'en fournit l'inégalité (79). 

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