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22. Oll conçoit dès lors que la formule (77) fournit un moyen très commotie 

 pour le calcul des zéros de la fonction C (s) situés sur la droite D. Comme ces 

 zéros sont deux à deux symétriques par rapport à l'axe réel, il suffira de chercher 

 ceux dont les ordonnées sont positives. 



Voici l'idée très simple qui nous a guidé. D'après ce que nous avons dit plus 

 haut, la fonction x{s), définie par l'expression (75), prend des valeurs réelles sur la 

 droite D. Il s'ensuit que, pour un point (luelconque s de cette droite, le reste 

 suivant le module 2 sr de la (juantité 



(80) .'-' =- arg ^ 2 + arg /'( ^ ) + arg t (.s) 



est égal à ou à ^, suivant que x (*') e«t, positif ou négatif. Comme x (s) ne change 

 évidemment de signe qu'en s'annulant, et comme cette fonction, d'autre part, pré- 

 sente sur la droite en question précisément les mêmes zéros que C(«), on voit dès 

 lors que, pour séparer les zéros de la fonction ^{s) compris sur un segment donné de 



la droite D, on n'awa qu'à calculer, avec une erreur moindre que ^^ , la valeur de 



In quantité ii pour une suite de points suffisamment rapprochés de ce segment. 



Notre raisonnement suppose que les zéros (ju'on cherche sont tous simples, 

 ce (]u'on peut présumer, et ce (jua le calcul permettra de vérifier a posteriori. 



L'évaluation de la quantité îi ne présente aucune tiifficulté. En posant 



•■*=.,+' y (y i'«el), on aura d'abord 



Pour le calcul du second terme de (80), on fera usage du développement connu 

 de \ogr{z), en se bornant aux termes 



log r (z) = log VY^ - z + (.2 - l ) log ^ -f ^\ ■ 



qui donnent une approximation plus (jue suffisante. Il s'ensuit 

 L'erreur commise est, d'après Stieltjes '), numériquement inférieure à 



') Sur k (k'veloppctiœiit dr log /' (a) (Journal de Mathe'watiqiifs pures ä appliquées, i' série 

 T. V, 1889). 



