Sur les polygones au plus petit périmètre 

 circonscrits à une ellipse donnée. 



Le prol.ilème que nous abordons dans cette note, a dû tenter la curiosité de 

 plus d'un géomètre; mais malgré sa nature élémentaire, il ne semble pas avoir 

 obtenu jusqu'ici une solution satisfaisante. Cependant une étude approfondie de la 

 question offre des points de vue assez intéressants et conduit à des résultats qui 

 méritent d'être signalés. 



Nons commençons par établir quelques propositions générales concernant les 



polygones circonscrits à une ellipse. Soit ABC • ■ • N = H un tel polygone. Par 



les points de contact les n côtés du polygone sont divisés en 2w segments, que 



nous désignons en ordre par «, , a^, ß^, ß^., /i, r2j*-""n »'2) 6n sorte que «1 et «2 



sont les deux segments qui comprennent l'angle 4, /3i et /Sj ceux qui comprennent 



l'angle -B, et ainsi de suite. On peut considérer l'ellipse E et le polygone ABC--- 



comme des projections orthogonales d'un cercle K et d'un polygone A'B'C • •• N' = U' 



qui lui est circonscrit. Dans ce dernier polygone les 2n segments dans lesquels les 



côtés sont partagés par leurs points de contact avec le cercle, sont égaux deux à 



deux; nous désignerons par « chacun de ceux qui entourent l'angle A\ par ß ceux 



qui entourent l'angle B' etc. En observant maintenant que les segments «, /î du 



côté A!B' sont proportionnels à leurs projections «2, ßi, on trouve «g : |S, =: « : /ï . 



On aura de même ß^'- "ii = ß ■■ Y, ^2 : ^1 = r : ^? • • • et en faisant le produit de tous 



ces rapports, on obtient 



n\ « 2 fe /2 • • • Vi _ 1 



^^ «, /il j'i . . . V, '• 



Ainsi, dans un polygone quelconque circonscrit a une ellipse, le produit des seg- 

 ments d'ordre pair est égal à celui des segments d'ordre impair. 



Soient Pj, P^, Ps • • • les points où l'ellipse est touchée par les côtés succes- 

 sifs AB, BC, CD du polygone II, et q,, Q2, Qî, ■ • • les rayons vecteurs de l'ellipse 



