Foli/goncs nu plus petit périmètre circonscrits h une ellijjse. 5 



Le premier membre de cette équation signifie évidemment le rayon d'un cercle 



rj 



inscrit dans l'angle supplémentaire de -B et passant par Pj- D« même, /i cot ^ 



est le rayon d'un cercle inscrit dans l'angle supplémentaire de Cet passant également 

 par P2. L'équation précédente exprime donc que ces deux cercles se confondent, 

 c'est à dire que le cercle ex-inscrit à la portion considérée PiBGP^ du polygone 

 doit toucher le côté BC à son point de contact avec l'ellipse. 



Il est facile de constater géométriquement que, si cela a lieu, la somme 

 s - P^B -\- BC -\- CP^ est un vrai minimum. En effet, si Q et i2 sont les points 

 où le cercle touche les côtés adjacents à PC, cette somme équivaut à PiQ + -^3-ß- 

 Soit PC une autre tangente à l'ellipse, différente de BC; elle coupera nécessaire- 

 ment le cercle. De ses deux extrémités P et C l'une sera intérieure et l'autre 

 extérieure à la droite BC par rapport à l'ellipse. Soit C le point intérieur, et me- 

 nons de C une tangente C'B" au cercle. Son intersection P" avec la droite P^Q 

 tombera entre P et P'. Il en résulte que la somme s' = PiB' -\- B'C ■{- C'P^ est 

 plus grande que PiP"+ P"C' -)- C'P^. Mais cette dernière somme équivaut à 

 P,Q 4- P3P = s ; donc s' > s, c. q. f. d. 



En faisant varier successivement chacun des autres côtés du polygone, on 

 trouve des conditions analogues. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant: 



Théorème I. Pour qu'un polygone de n côtés, circonscrit à une ellipse don- 

 née, ait le plus petit périmètre, il faut et il suffit que chacun des cercles ex-inscrits, 

 déterminés par trois côtés consécutifs du polygone, touche le côté à l'extérieur duquel 

 il se trouve, au point de contact de celui-ci avec l'ellipse. 



Exprimées analytiquement, les conditions du minimum se résument par le 

 système suivant de relations: 



(3) 



Mais il importe d'observer que ces relations ne sont pas toutes indépendantes. 

 En effet, si on les multiplie membre par membre, elles conduisent à l'équation 



«2 1*2 /2 • • • = «1 /^1 /i • • • , 



