L. LiNDELÖf 



Fig. 2. 



qui, d'après la formule (1), est une identité. Par conséquent chacune des relations 

 (3) peut se déduire des autres, de sorte qu'elles ne constituent, en réalité, quen— 1 

 conditions distinctes ')• 



Cela donne à penser que le problème pourrait être en quelque sorte indéter- 

 miné et qu'il y aurait une infinité de polygones satisfaisant aux conditions du 

 minimum énoncées plus haut. On peut démontrer, en effet, qu'étant donné le 

 point de contact d'un des côtés du polygone /7, p. ex. celui de AB, il est toujours 

 possible de choisir les autres de manière que toutes ces conditions soient remplies. 

 A cet effet nous allons examiner de plus près les rapports qui existent entre les 

 ceixles ex-inscrits consécutifs. 



Supposons donc qu'on ait construit successivement une suite de cercles 



Cl , C'a , Ci, de la manière suivante. Le cercle C, , dont le rayon est arbitraire, 



est tangent à l'ellipse au point fixe P, . Celui-ci 

 étant donné, on mène la droite BC de manière 

 qu'elle soit tangente à la fois au cercle C, et 

 et à l'ellipse. Puis on construit un cercle C^ 

 tangent à cette droite au point Pj où elle 

 touche l'ellipse, et au prolongement du côté 

 AB. Ayant mené une seconde tangente CD 

 commune au cercle C2 et à l'ellipse, qu'elle 

 touche en un certain point P3, on construit 

 également le cercle C3 tangent à cette droite 

 au point P3 et en même temps au prolonge- 

 ment du côté BC, et ainsi de suite. On ob- 

 tient ainsi une ligne polygonale APC • • avec 

 une série de cercles ex-inscrits, qui sont tous 

 déterminés de grandeur et de position, aussitôt 

 qu'on aura fixé le premier d'entre eux. Cela posé, 

 il s'agit de savoir comment varient les cercles Cj, C3, • • • et comment se déplacent 

 leurs points de contact P2, P3, •• • sur l'ellipse, lorsqu'on fait varier le rayon du 

 cercle Ci, son point de contact P, avec l'ellipse restant fixe. 



Or, on voit immédiatement que, si le rayon du cercle Ci croit de zéro à l'in- 

 fini, le point de contact P2 du cercle voisin C2 se mouvra continuellement le long 



') Nous signalons, en passant, la formule suivante, à laquelle les angles des deux polyg 

 n et n' doivent satisfaire dans le cas du minimum: 



tg^tg 



déduit facilement du système (3). 



