Polygones nu plus petit périmètre circonscrits à une ellipse. 7 



de rellipse à partir du point Pi jus(iu'au point diamétralement opposé. On prouve 

 aussi facilement que le rayon du cercle C^ croîtra en même temps continuellement 

 et sans limite. En désignant, pour un moment, par q la perpendiculaire abaissée 



B 



du point P2 sur lu droite AB, l'expression 1^2 cot ^ de ce rayon peut, en effet, se 



q 

 mettre sous la forme ^ _ QQ^ß, et comme le numérateur de cette fraction, entre 



les limites dont il sagit, croît continuellement, tandis que le dénominateur décroît 

 de 2 à 0, on voit bien que la fraction elle même croît constamment de à 00. 

 Réciproquement on peut dire que, si F^ se rapproche de Pi, les cercles Cj et C2 

 diminuent simultanément. Et l'on en conclut généralement que si deux points de 

 contact voisins quelconques P« et P„. + 1 se rapprochent l'un de l'autre, soit que l'un 

 d'eux est seul mobile, soit qu'ils se meuvent tous les deux en sens opposé, les cercles 

 ex-inscrits correspondants C„, et C„, + i diminueront en même temps. Cette re- 

 marque nous aidera à achever notre discussion. 



Désignons maintenant par r^, »-2, r^,--- les rayons des cercles Ci, C^, C^,--- 

 Il résulte de la similitude des constructions successives, effectuées dans la fig. 2, 

 qu'on a 



^ = ^' ^1 = Xa '> _ ^> . . . 



En y substituant les valeurs 



ßi = ß cos A, , y, = r cos ^2, • • • 



ß-l — ß cos ^2 r Ï2 — Ï CÛS /3 , • • • 



et se rappelant que les cosinus des angles i.^, ^2, ^**- sont proportionnels aux 

 rayons vecteurs désignés plus haut par ç,, q^, Çs,---, on en tire les relations 

 simples 



(4) 'î = '^ = *^ = . . . 



Qi Q2 ?3 



Ainsi les rayons des cercles Ci, C2, Ci,--- sont entre eux dans le même rapport 

 que les rayons vecteurs de l'ellipse parallèles aux côtés respectifs du polygone. 

 Ces rapports changent, en général, avec le déplacement des points de'.contact, mais 

 ils restent toujours finis, d'où nous tirons cette première conséquence que, si r^ va- 

 rie de à co, tous les autres rayons r^, rs,--- le font simultanément. Pendant 

 cette variation les points P2, Pj • • • , qui coïncidaient d'abord tous avec le point 

 fixe Pi , se dispersent, en s'éloignant de lui d'un mouvement inégal. Lorsque r^ 

 devient infini, le point P2 aura fait, comme nous l'avons déjà indiqué, un demi-tour 



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