8 L. Lindelöp. 



de l'ellipse, le point P3 en aura fait deux (= un tour entier), le point P4 trois, et 

 ainsi de suite. Ce mouvement est continu, mais jusqu'ici nous ne savons pas 

 s'il est toujours dirigé dans le même sens, ou s'il peut y avoir, pour quelque point 

 de contact, un mouvement tantôt progressif, tantôt rétrograde. Quoiqu'il en soit, 

 nous voyons déjà qu'il arrivera sûrement, pour certaine valeur de r, , que le w + l'^"« 

 point de contact, ayant fait un tour entier de l'ellipse, coïncide avec le point Pj. 

 On aura alors réalisé un polygone de n côtés qui satisfait aux conditions du mi- 

 nimum. 



Il reste à démontrer que, pour une position donnée du point Pi , ce polygone 

 est unique. Pour cela il suffit de faire voir que le mouvement du point P« + i est 

 toujours progressif. 



Or, nous savons déjà qu'il en est ainsi à l'égard du point de contact P2, voisin 

 de Pj . Passons au point suivant P3 . Si celui-ci pouvait avoir, dans quelque partie 

 de son parcours, un mouvement rétrograde, il lui arriverait nécessairement de 

 prendre la même position pour deux valeurs différentes de r, , soit r/ et r/' (r/ < r,"), 

 auxquelles répondraient alors, en vertu des relations (4), deux valeurs de r^, soit 

 '/•3' et rs", telles que 



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Ainsi, lorsque le rayon du cercle Cj croît de r/ à r,", celui de C3 croîtrait propor- 

 tionnellement. Mais comme le point de contact Pj du cercle adjacent C2, conti- 

 nuant toujours son mouvement progressif, se serait, dans l'intervalle de temps dont 

 il s'agit, rapproché du point P3, dont la position est la même au commencement et 

 à la un de cet intervalle, la seconde valeur de r^ devrait au contraire, d'après la 

 remarque faite ci-dessus, être plus petite que la première, ce qui prouve l'impossi- 

 bilité de l'hypothèse. 



Il en résulte qu'en faisant grandir le cercle C, , le mouvement du point P3 ne 

 peut être que progressif Cette démonstration s'applique tour à tour à chacun des 

 points de contact suivants.- Ainsi l'accroissement continu du cercle C,, dont le 

 point de contact est supposé fixe, donne lieu à un mouvement progressif continu 

 des points de contact de tous les autres cercles ex-inscrits, quel que soit leur 

 nombre. 



Cette proposition étant établie, nous sommes, d'après ce qui précède, autorisé 

 à conclure qu'il existe pour chaque position de la base AB un polygone circonscrit de 

 n côtés pour lequel le périmètre est un minimum, et quil n'y en a qu'un seul. En 

 faisant varier la position de la base, le polygone au périmètre minimum varie en 

 même temps, et comme, pendant cette déformation continue, la différentielle du pé- 



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