Polygones ait plus petit périmètre circonscrits à une ellipse. 



riraètre est constamment nulle, il en résulte que tous les polygones ainsi obtenus 

 ont la même longueur de périmètre. Ainsi vient d'être établie cette autre propo- 

 sition d'une importance fondamentale: 



Théorème II. Il existe une infinité de polygones de n côtés circonscrits à 

 une ellipse donnée pour lesquels le périmètre est un minimum, le point de contact 

 d'un des côtés avec l'ellipse pouvant être choisi à volonté, et tous ces polygones ont la 

 même longueur de périmètre. 



Les théorèmes I et II renferment ensemble la solution complète du problème 

 que nous nous étions proposé. 



Comme illustration de cette théorie générale, 

 ques cas particuliers. En premier heu 

 nous nous occuperons du triangle au plus 

 petit périmètre circonscrit à une ellipse 

 donnée. 



Soit ABC un tel triangle. Les trois 

 cercles ex-inscrits devant toucher les cô- 

 tés du triangle dans leurs points de con- 

 tact Pi, P2, P3 avec l'eUipse, on en dé- 

 duit d'abord les égalités PiA + AC — 

 P,B + BC, P^B + BA = P^C + CA , 

 P^A-^AB^P^C+CB, lesquelles, com- 

 parées deux à deux, conduisent aux relations 



nous allons l'apphquer à quel- 



(5) 



ß^ = /2, 



qui, dans le cas actuel, résument les conditions du minimum. Le triangle au plus 

 petit périmètre a donc la propriété caractéristique que les six segments dans les- 

 quels les cotés du triangle sont partagés par leurs points de contact avec l'ellipse, 

 sont égaux deux à deux, à savoir les deux qui s'appuient sur un même côté. 



Si l'on veut calculer la longueur du périmètre minimum, on peut, en vertu du 

 théorème II, se borner au cas le plus simple, celui d'un triangle isocèle dont la 

 base est parallèle à l'un des axes de l'ellipse. En admettant que le côté AB est 

 parallèle au grand axe, le triangle A'B'C circonscrit au cercle K et dont ABC est 

 la projection, sera aussi isocèle et l'on aura a = ß = a^ = ß^. Posons l'angle 

 C" = 2(f, d'où A' = B' — 90" — (f, et désignons, comme auparavant, par A^, X2, X3 

 les angles formés par les côtés de ce second triangle avec leurs projections respec- 

 tives; on trouve dans ce cas particulier 



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