L. Lindelöp. 



cos Al = 1, cos ^2 = cos X.^ = yl — e^ cos cp^ , 



e étant l'excentricité de l'ellipse. Les conditions du minimum se réduisent mainte- 

 nant à la seule équation ß^ = Y2 ou 



ß = y cos A3. 



Or, en prenant le rayon du cercle K, c. à d. la moitié du grand axe de l'ellipse 

 pour unité de longueur, on a 



R' ,90« — </■ G' 



ß = cot -^ = cot ~~ , y = cot -^ = cot <f ; 



par suite l'équation dont il s'agit, deviendra 



90* — y) _ 1 -f- sin y _ cos (f 



cotç j/l — ê- cos <f- — cot 

 d'où l'on tire 



V\ 

 et 

 (6) ■ 



Quant au périmètre du triangle ABC, que nous désignerons par 2i), il prend la va- 

 leur 2 («2+ /îj +/Î2) = 2 /S (2 + cos A2), d'où 



^ cos y z' sin y \ ^ (2 — siny) cos y 



^^ ^ 1 — sinyl, ~^1 — siny/ (1— siny)^ " 



L'excentricité e étant donnée, on peut calculer y par l'équ. (6), ce qui exige 

 en général un nombre d'approximations successives, et ensuite jp par la formule 

 (7). Mais si l'on veut obtenir une relation directe et générale entre ^ et e, il faut 

 éliminer y entre ces deux équations, qu'on mettra préalablement sous la forme 



e2 sin y* — 2 e2 sin y^ — 2 (1 — e^) sin y + 1 — e^ = o , 

 (8) 



{f- + 1) sin y3 — 3 (p2 + 1) sin y^ + 3^)^ sin y - ^j^ + 4 = o . 



L'élimination de sin y conduit à l'équation finale 



f' — 12(2 — e2)j}« — 6[18(1 — e«) — 8e*]^* — 8(10— 15e2 + 21e* — 8e«)i>2 

 (9) 



— 27 (1 — e2)2 = , 



