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Notre théorème général II sur les polygones permet encore de calculer très 



simplement le périmètre minimum d'un tétragone circonscrit à une ellipse donnée. 



Il suffit pour cela de considérer le cas d'un rectangle circonscrit dont les côtés 



sont parallèles aux axes de l'ellipse. En effet, une telle figure satisfait évidemment 



aux conditions (3) du minimum. On trouve ainsi immédiatement que le périmètre 



minimum d'un tétragone circonscrit équivaut 

 Fig. 4. 



à la double somme des deux axes de l'ellipse. 



/'\ Il est facile de vérifier ce résultai p. ex. 



sur le rhombe circonscrit au périmètre mi- 

 nimum. 

 A^'^ -..a' Pour l'hexagone on peut encore signaler 



/^ \ un résultat assez remarquable. En choisissant, 



f/( KjC parmi les hexagones circonscrits à l'elhpse, ce- 



/ \ y \ lui dont deux côtés opposés, AB et DE (fig. 4), 



V..,_^^^ ^^_^ \ sont parallèles au grand axe, et désignant, dans 



A B l'hexagone correspondant circonscrit au cercle 



K, par (f l'angle formé par un des côtés obli- 

 ques, CD', avec le diamètre vertical du cercle, on trouve sans peine que, dans le 

 cas du minimum, on doit avoir 



_ ^1 — 2 sin y 

 ^ (1 — sin (p) cos (f ' 

 (10) 



j?6 ^ 1 + sin y' 

 2 cos (f^ ' 



2i)6 étant la longueur du périmètre minimum de l'hexagone circonscrit. La première 

 de ces formules étant identique à l'équ. (6), qui était relative au triangle au péri- 

 mètre minimum dont la base est parallèle au grand axe de l'ellipse, il s'ensuit que 

 les droites déterminées par l'angle (f coïncident dans le triangle et dans l'hexa- 

 gone, c'est-à-dire que celui-ci s'obtient en découpant chacun des angles du triangle 

 par une tangente à l'ellipse parallèle au côté opposé. Mais on peut en tirer encore 

 une autre conséquence plus importante. Puisque la valeur de (p est la même 

 dans les deux cas, il est permis de l'éliminer entre l'équ. (7) et la seconde des 

 formules (10) et l'on obtiendra ainsi une relation entreiße etp, indépendante de l'excen- 

 tricité. Sans la développer ici, nous ferons seulement observer qu'elle est du troi- 

 sième degré en p^^ et du quatrième en p^. Les plus petits périmètres d'un hexa- 

 gone et d'un triangle circonscrits à une ellipse quelconque se trouvent donc liés entre 

 eux par une équation algébrique relativement simple. 



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